[5] über die gestaltliclien Verhältnisse der Integralknrven usw. 281 



der durch eine Differentialgleiclinug erster Ordnung definierten Kurven- 

 systeme" ;^) in der ersten Abhandlung wird hierbei F in eine Reihe nach 

 Potenzen von x, y,y' = -^ entwickelt und die Differentialgleichung F = Q 

 unter Berücksichtigung nur der Glieder niederster Ordnung durch eine ein- 

 fachere integrierbare ersetzt. In der zweiten der genannten Abhandlungen 

 wird der Gesamt verlauf der Integralkurven dadurch diskutiert, dafs an Stelle 

 von F ^ Q eine Reihe kontinuierlich ineinander übergehender Differential- 

 gleichungen F — k = mit ^• als Parameter gesetzt wird. Bei Änderung 

 von k bleibt der Gesamtcharakter des Kurvensystems im allgemeinen er- 

 halten und ändert sich nur an gewissen Sprungstellen, dann nämlich, wenn 

 sich die Zusammenhangszahl der Fläche F{x,y,z) — k ^= is = —] ändert. 

 Eine spezielle Untersuchung über die Differentialgleichung erster 

 Ordnung zweiten Grades hat dann Picard^) angestellt. Er nimmt die 

 Differentialgleichung in der Form 



(1) {a^x + b^y + ...) f^j' + 2 (a^x + bru + ...) ^ + {cux + b,ij + ...) = 



an, wo die nicht angeschriebenen Glieder von höherer als der ersten Ordnung 

 sind. Der Punkt ic = 0, ?/ = ist singulärer Punkt und Doppelpunkt der 

 Diskriminantenkurve. Picard stellt den Satz auf: 



Nähert sich eine Integralkurve der Gleichung (1) un- 

 begrenzt dem Nullpunkt, so hat sie im allgemeinen in ihm 

 immer eine bestimmte Tangente, deren Richtungsfaktor eine 

 Wurzel der Gleichung dritten Grades 



(2) («0 + &o t) t- + 2 (a, + &, < + {a-, + b.t) = 



ist. 



Weiter behandelt Wahlgreen in einem Aufsatz „sur les points 

 singuliers des equations differentielles du premier ordre et du second degr6"^) 

 die bei der Gleichung 



Ä {x, y) äx'' -\- 2B {x, y) clx dy -{■ C {x, y) äy"^ = 



1) Sitzungsberichte der k. bayer. Akad. d. Wissensch. 1891; 1892. 



2) Traite d'analyse III., p. 217 ff. und Math. Annalen, Bd. 46. 



3j Bihang tili Svenska Akad. Handl. Bd. 28 Afd. I Nr. 4. Stockholm 1902. 



