282 Jakob Weigel, [6] 



auftretenden singulären Punkte, indem er die Gleicliung vom zweiten Grad 

 auf ein System von zwei Differentialgleichungen ersten Grades zurückführt 

 und hierauf die Bendixson sehen Methoden anwendet. Ist ein gewöhnlicher 

 (nicht mehrfacher) Punkt der Diskrimiuantenkurve siiigulärer Punkt, so 

 ergeben sich die Fälle, die A'on W. von Dj^ck a. a. 0. in anderem Zu- 

 sammenhang bereits diskutiert waren. Weiter aber gibt Wahlgreen unter 

 der Voraussetzung, dafs die A, B, C Potenzreihen sind und mit Gliedern 

 beliebig hoher Ordnung beginnen, eine Reihe wichtiger Eigenschaften au, 

 die sich auf das Verhalten der Integralkurven in der Umgebung eines 

 mehrfachen Punktes der Diskrimiuantenkurve beziehen. 



Die angeführten Untersuchungen über das Verhalten der Integral- 

 kurven in der Nähe eines doppelten oder mehrfachen Punktes der Dis- 

 krimiuantenkurve beschäftigen sich nur mit allgemeinereu prinzipiellen Eigen- 

 schaften der Integralkurven. Dagegen scheint es noch nicht versucht worden 

 zu sein, eine vollständige Zusammenstellung aller der Fälle zu geben, die 

 eintreten können, wenn die Koeffizienten mit Gliedern bestimmter Ordnung 

 beginnen. Die vorliegende Abhandlung macht es sich zur Aufgabe, die 

 gestaltlichen Verhältnisse der Integralkurven in der Umgebung eines Doppel- 

 punktes der Diskrimiuantenkurve zu diskutieren. Der fragliche Punkt sei 

 der Koordinatenanfangspunkt; wir legen daher der Untersuchung eine 

 Differentialgleichung von der Form (1) zugrunde und setzen voraus, dafs 

 die linearen Glieder in den Koeffizienten nicht fehlen. 



Zur Diskussion ersetzen wir unter Berücksichtigung nur der linearen 

 Glieder in den Koeffizienten die vorgelegte Differentialgleichung durch eine 

 einfachere (homogene), die ohne weiteres integrierbar ist, die aber, das Ver- 

 halten der Integralkurven in der Umgebung des Nullpunktes beliebig genau 

 angibt, wenn wir uns in genügender Nähe desselben befinden. 



Unter den Integralkurven sind drei durch den Nullpunkt gehende 

 Gerade enthalten, die Diskrimiuantenkurve besteht aus einem Geradenpaar 

 mit dem Nullpunkt als Schnittpunkt. Bringt man alle diese Geraden in 

 möglichst einfache (symmetrische) Lage zum Koordinatensystem, w^as im 

 Sinne der analysis situs die Allgemeinheit nicht stört, so ergeben sich zwei 

 getrennt nebeneinander zu behandelnde Gleiclmngstypen als die allgemeinen 

 Fälle. Diese sind in Kap. I und II besprochen. Kap. III enthält den Über- 



