284 Jakob Weigel, [8] 



ferner die Gleichung nur im Gebiet der reellen x, ij. Lust man (1) nach 

 y' auf, so ist 



d') y' = — («I ^ -t- ^'i y + • ■ ■) + lA«! a: + &,</ + - ■ .y^ — («0«: + &„y + ...) (.a-jX + h^V + ■■•) 



oder nach Einführung von Polarkoordinaten q, <p 



sin q) cIq + g cos q> dq) 



(3) 



cos q) dg — () sin ^ dg) 



—(aiCoscp+'biS\n<p)+Q{...)±[/(ai cos^p+t, sin y)''—(aQ cos qc+Öq sin 95) (0.20039)+ &, sin 9))+()(...) 



Oq cos (p + &o sin 9) + p (. . .) 



Die auf der rechten Seite dieser Gleichung durch Klammern an- 

 gedeuteten Faktoren sind Reihen nach Potenzen von q, die in einem gewissen 

 Bereich um den Nullpunkt konvergieren. Wir können daher die rechts auf- 

 tretenden Ausdrücke, die g enthalten, mit g beliebig klein machen. Ver- 

 nachlässigen wir nun diese Ausdrücke, so ist die statt (3) sich ergebende 

 Gleichung identisch mit 



(4) {a,x+hoy)!/'-^+2{a^x + -b,ij)ii' + (a.2X + h,y) = 0. 



Diese gibt also das Verhalten der Integralkurven von (1) in der Umgebung 

 des Nullpunktes mit beliebiger Genauigkeit an, wenn wir uns hinreichend 

 nahe beim Nullpunkt befinden. Die geometrischen Verhältnisse der Differential- 

 gleichung (4) sollen im folgenden näher untersucht werden. Sie ist als 

 homogene Differentialgleichung unmittelbar zu integrieren, und da die In- 

 tegralkurven einer solchen alle zueinander ähnlich und ähnlich gelegen 

 sind, so ist jede Kurve des Integralsystems vollständig bestimmt, wenn 

 eine einzige bekannt ist. 



Die durch Gleichung (2) bestimmten Geraden durch den Nullpunkt 

 sind jetzt selber partikuläre Integrale; setzt inan nämlich 



in (4) ein, so ergibt sich gerade Gleichung (2). An Stelle der Diskriminanten- 

 kurve von (1) treten ihre Tangenten im Doppelpunkt: 



(5) («j X + &i2/)2 — (flo« -f- l^ij) {(hx -\r h-iy) = 0. 



