286 Jakob Weigel, Über die gestaltlichen Verhältnisse der Integralkurven usw. [10] 



erfüllt ist. Zur Vereinfachung' der Diskussion nehmen wir au. dais die 

 zwei zusauimeufallenden Geraden in der x- Achse, die dritte in der ?/- Achse, 

 und die zwei die Diskriminantenkurve bildenden Geraden symmetrisch zur 

 Winkelhalbierenden des ersten Quadranten liegen, d. h. wir setzen: 



6„ = 0; &., = —2 a, 

 Oo ^ 0: &| = + «,. 



Wir nehmen &i = + Oi an;^) dann ergibt sich als dritter Fall, wenn noch 

 a„ ^ 1 und «1 = a g'esetzt wird: 



(8) Fall III: x^j'^ + 2a (x + ?/)«/' — 2 « ?/ = 0. 



Einen weiteren Übergangsfall erhalten wir, wenn eine der Geraden (2) 

 und eine der Geraden (5) zusammenfallen; dieser Teil der Diskriminanten- 

 kurve ist dann singulare Lösung. Da für diesen Fall die Diskriminanten- 

 kurve stets als reell vorauszusetzen ist, werden wir zweckmäfsig die zu 

 behandelnde Gleichung in der Form 



(9) FaU IV: (aa; -H 2/) 2/'2 + bij = 0. 



annehmen, wobei die x- Achse singulare Lösung ist. 



Auf eine für die Diskussion der Integralkurven wichtige Eigenschaft 

 mag hier noch hingewiesen sein: die durch Gleichung (4), also auch die 

 durch die Gleichungen (6) bis (9) definierten Kurven haben (aufserhalb des 

 singulären Punktes) keine Wendepunkte. Differentiiert man nämlich (4) 

 nach X und setzt y" = 0, so bleibt noch 



(«0 + hy') y"^ + 2 (ai -I- &, y') y' + («. + b,y') ^ 0. 

 Die hieraus berechneten Richtungen y' sind aber die Richtungen der Geraden 

 (2); da ferner (4) linear in - ist, eine vorgegebene Richtung y' also nur 



längs einer Geraden — = Konst. möglich ist, so besteht der Ort der Wende- 

 punkte lediglich aus den Geraden (2), die selber partikuläre Integrale sind. 

 Wendepunkte können also höchstens im singulären Punkt vorkommen. 



1) Das für &) = — «i sich ergebende Feld von Richtungen ist von dem durch (8) 

 definierten nicht wesentlich verschieden, sondern nur ein Spiegelbild des letzteren in bezug 

 auf eine der Achsen. Ändert man nämlich in der für &, = — a, erhaltenen Gleichung das 

 Vorzeichen von a^ und y (oder auch von a, und x), so ergibt sich Gleichung (8). 



