290 Jakob Weigel, [14] 



§ 3. 



Transformation von (6) in eine Differentialgleichung ersten Grades 

 mittels einer zwei-zwei-deiitigen Abbildung, 



Zur Diskussion der durch (6) definierten Integralkurven bilden wir 

 die Ebene der x, y auf eine g^^-Ebene ab vermittelst der Formeln: 



(IIa) 



oder 



(IIb) 



2«, +&2 



(V-s) 



^=±l/-M^^^rf^-S(^^s + 2«.,,), 



\rj = {ai + hy)x ± \/a{^x''- — h,jf- 



Hierdurch wird (6) in die Differentialgleichung 



(12) a, ?; f?| + («1 + &2) l,dri = 

 Übergeführt; das allgemeine Integral dieser Gleichung lautet 



(13) g"! . 7;"' + ''-' = C, 



daher nach (IIb) das allgemeine Integral der Gleichung (6): 



(14) [— «1 X + i/aj2a;2_5^y2]<'i . [(a^ + h.i)x + \/ a^^ x->- — h-ry'''\ "'*''= C. 



Die Kurven (13) sind, je nachdem ai • (a^ + 62) ^ 0, hyperbelartige 

 Kurven mit den Koordinatenachsen als Asymptoten („col") oder sie gehen 

 alle durch den Nullpunkt und berühren dort eine der Koordinatenachsen 

 („noeud"). Da sich die vorliegende Untersuchung nur auf reelle Koeffi- 

 zienten a, b beschränkt, kommt der dritte in der Gleichung 



g« . y^ = C 



enthaltene Typus der spiralförmigen Umwindung des Nullpunktes („foyer") 

 hier nicht vor. 



Bei der Transformation dieser Kurven in die a;?/- Ebene kommen 

 folgende für unsere Untersuchung wesentlichen Eigenschaften in Betracht: 



