312 Jakob Weigel, [36] 



In den erwähnten Untersuchungen von Bendixson') ist gezeigt, 

 dafs jede Integralkurve einer Differentialgleichung ersten Grades im Null- 

 punkt eine bestimmte Tangente hat, sobald eine einzige Kurve mit be- 

 stimmter Tangente im Nullpunkt existiert. Im vorliegenden Fall ist mindestens 

 eine der drei Geraden r, , r^, r^ reell, infolgedessen haben alle in den 

 Nullpunkt gehenden Kurven von (22) in ilim eine bestimmte Tangente. 



Als Tangenten im Nullpunkt kommen nur die drei Geraden r,, A, A, 



die sich für '-jl ^ ^ aus (22) ergeben, in Frage.-) Ist b.2> 0, so dafs 



»s s 

 Gleichung (23) in reeller Form erscheint, so sieht man ohne weiteres aus 



dieser Gleichung, dafs für ö^ < 



Ts = {\+ {/¥,)?] + i = 0; 



für öi > 



n = (bi — i/idv + s = 



gemeinsame Tangente im Nullpunkt ist. Für h., < geht aufser der ?;- Achse 

 (Fl) keine Kurve durch den Null])unkt, wie sich nachher zeigen wird. 



Zur Diskussion der Integralkurven ist noch zu bemerken, dafs ?] = 

 Ort der Wendepunkte ist; aufserdem haben dieselben, wie aus (23') ersichtlich, 

 zur ;;- Achse parallele Asymptoten. 



A) Jj- — b.2>0 — Zi, K, imaginär. 



1. 6i<0; 5j>0 — r,, r,, r-i reell. 



Die Geraden r,, Fi, F^ haben die in Fig. 30 gezeichnete Lage. Wir 

 untersuchen den Verlauf der Integralkurven in der Halbebene der positiven g. 

 -jj ist in der ganzen Ebene "positiv und nirgends Null. Daher geht zwischen 

 Fl und der positiven ?;- Achse jede Kurve in den Nullpunkt. Ginge nämlich 

 eine Kurve dieses Winkelraums nicht in den Nullpunkt, so müfste -^ auf 

 ihr sein Zeichen einmal ändern, was gegen die Voraussetzung wäre; oder 

 die Kurve müfste die ?;- Achse oder To schneiden, was unmöglich ist, da 

 diese Geraden partikuläre Integrale sind. 



1) Acta math. Bd. 24, p. 37. 



2) Vgl. Acta math. Bd. 24, p. 34 ff. 



