[57] über die gestaltlichen Verhältnisse der Integralkurven usw. 333 



Das diesen Fall illustrierende Kurvensystem (Fig. 48) entsteht als 

 Überg'angsfall aus Fig. 10, wenn dort etwa Gi und G.^, oder auch aus 

 Fig. 38, wenn Gi und G^ zusammenfallen. 



§ 12. 



Zusammenfallen zweier in verschiedenen Blättern liegender Geraden. 



Bei allen bisher behandelten Übergangsfällen, wo zwei oder drei 

 Gerade zusammenfielen, gehörten diese ursprünglich demselben Blatt an. 

 Es erübrigt nun noch zu zeigen, dafs ein Fall zweier zusammenrückender 

 Geraden, die in verschiedenen Blättern liegen, in der Differentialgleichung (4) 

 nicht enthalten ist, dafs diese vielmehr rational in zwei Differentialgleichungen 

 ersten Grades zerfällt, wenn man die Koeffizienten a, b solchen Bedingungen 

 unterwirft, dafs zwei Gerade verschiedener Blätter sich decken. 



Es sei y ^ t^x eine Gerade des oberen, y = t^x eine Gerade des 

 unteren Blattes. Dann bestehen die Gleichungen 



^ _ — («1 + &i ^i) + l/(ai + h tj^ — («0 + h h) (ai + ht^) 



«0 + öo ^1 

 t = — («t + h td — i/(a, + 6| tj)-' — ja, + 6o t,) ja^ + K t{) 



Soll ti = to sein, so folgt hieraus 



(«, + 6, t^r- — («0 + h h) («2 + h k) = 0. 

 Es bestehen also für t-^ die drei Gleichungen: 



(fti^ — i^ 6^) ti^ + (2aj &, — a„ \ — «j 5o) ty + («i^ — a^ a^) = 



h h^ + («0 + 2&,) i,2 + (2a, + 62) t, + «, == 



3&o*,= + 2(ao + 2&,)i, +(2a, + &.) -= 0, 



d. h. es bestehen zwei Gleichungen zwischen den Koeffizienten. 



Denken wir uns der Einfachheit halber das Koordinatensystem so 

 gedreht, dafs die zusammenfallenden Geraden in der cc- Achse liegen, d.h. 

 setzen wir «j = 0, so sind die zwei Bedingungen zwischen den Koeffizienten: 



Not» Acta XCVI. Kr. 2. 43 



