[61] Über die gestaltlichen Verhältnisse derlntegralkurven usw. 337 



r,^,^'-±^pi^,^o 



r,= 7- 



-Tj = 11 + 



±i^^i = o\ 



2 



I A 



a— |/o2 — 4& 



i/:rr 



r'= a -\,'a^-Ab ^_ 



r — , a + l/a2_4ö" 



G-i = y-\ -^ x = 0. 



Je nachdem & s gehören zu reellen Werten A'on i] nur positive 

 oder nur negative Werte von y, die ganze g?/- Ebene wird also auf die 

 Halbebene iiur der positiven oder nur der negativen y abgebildet. 



Ist z. B. &<0, so werden die vier Quadranten der g^^-Ebene auf 

 den Winkelraum der Halbebene der positiven y, in welchem reelle Fort- 

 schreitungsrichtungen existieren, abgebildet. Dieser Teil der Ebene ist also 

 vierfach mit Kurven überdeckt. Denken wir uns über ihm vier Blätter 

 ausgebreitet, so sind jedoch je zwei dieser Blätter kongruent. 



Geben wir nun den g, rj in (29) bis (31) gleichzeitig rein imaginäre 

 Werte, so definiert (31) dasselbe reelle Kurvensystem wie für reelle g, ?;. 

 Führen wir aber jetzt die Transformation (29) aus, so wird dieses, den 

 imaginären Werten der g, rj entsprechende, Kurvensystem auf den reell 

 überdeckten Teil der Halbebene der negativen y abgebildet. Wir erhalten 

 auch hier vier übereinander gelagerte Blätter, von denen je zwei kon- 

 gruent sind. 



Da die Differentialgleichung (9) homogen ist, sind die Kurvensysteme 

 der Halbebene der positiven und der negativen y Spiegelbilder zueinander 

 in bezug auf den Nullpunkt. Zur Diskussion der Integralkurven der xy- 

 Ebene genügt es daher, zwei nebeneinander liegende Quadranten der g?;- 

 Ebene nach (29) auf die x?/- Ebene abzubilden. 



Die X-Achse ist singulare Lösung von (9) (Umhüllende im ge- 

 wöhnlichen Sinn), denn das Integral läfst sich in der Umgebung einer Stelle 

 X = ä;o, y = darstellen durch die Reihe ^) 



1) Vgl. auch W. V. Dyck, Über die singulären Lösungen einer Differential- Gleichung 

 erster Ordnung mit zwei Variabein usw. Abh. d. K. Bayr. Akad. d. Wissensch. XXV. Bd. 1910. 



