§ 1- 



Die Differentialgleichung der katoptrischen Linien. 



Lindelöf hat die Differentialgleichung der katoptrischen Linien bei 

 Spiegelung an der allgemeinen Fläche s ^^ f{x, y) für den Fall aufgestellt, 

 dafs das Licht parallel zur Z- Achse einfällt:^) 



dxj s ax 



wo r, s, t die zweiten Ableitungen von f{x. y) sind. 



Eine entsprechende Grleichung soll nun 

 für schief auffallendes Parallellicht aufgestellt 

 werden. 



Sind ß, ß, 7 die Winkel, die die Normale ^ 

 des spiegelnden Flächenelementes mit den Ko- 

 ordinatenachsen bildet, X, (i, V die des ein- 

 fallenden Lichtstrahles, so sind die Winkel g, 

 ri, 5 des reflektierten Strahles gegeben durch: Figur l. 



cos g = cos 2 a cos yl -f- 2 cos « (cos ß cos II -\- cos 7 cos v) 

 cos Tj = cos 2 ß cos fi + 2 cos ß (cos 7 cos v + cos a cos k) 

 cos C, = cos 2 7 cos v + 2 cos 7 (cos a cos A + cos ß cos ^) ! 



(1) 



oder mit Hilfe des Winkels u zwischen einfallendem Strahl und Normale: 



cos § ^ 2 cos ß cos u — cos X > 

 cos 7) = 2 cos ß cos u — cos fi [ 

 cos g = 2 cos 7 cos M — cos V ) 



(1') 



Ist nun wieder z ^ f{x, y) die Gleichung der spiegelnden Fläche 

 mit den ersten Ableitungen _p, q und den zweiten r, s, t, so erhält die Nor- 

 male im Punkt x, y die Ptichtung: 



1) Lindelöf, a. a. 0. 



