F. Tliierscli, 



/ , '/ —1 

 cos« = --- . Qos ,j = , cos 7 = 



[p"- + q- + 1 \/p^ + <r- + 1 \/p' + <r- + 1 



also der reflektierte Strahl: 



1 



cosg = 



pi-L.qij^ 1 ^^^' ~ 5" ~ ^^ '^^^ ^- + ^^^ (2 cos // — cos v)] 

 '/ = „2 I „0 I X K— -P' + 2- — 1) cos ,M + 2 »7 (— cos V +p cos ^)] 

 '^°^ S = ■; I 0-2 1 1 [(— ^'- — 2- + 1) cos r — 2 (p cos ?. + q cos //)]. 



cos 



(2) 



Um zu den katoptrischeii Linien zu gelangen, muls man jetzt die 

 Bedingung aufstellen, dafs die in zwei benachbarten Punkten der Fläche 

 X, y und x + dx, y + dy reflektierten Strahlen einander treften. Für zwei 

 Gerade : 



X 

 X 



und 



ist diese Bedingung 



iCo + p cos g, ?/ = «/o + p cos ?;, ä- == „^o + P cos ^ 

 «1 + T COS51, y ^ y^ -\- T'Cos?;i, « ^ «j + t cos gi 



cos g cos gl «1 — a'o ' 

 cos Tj cos ?;i 2/1—2/0 

 cos 5 cos g] ^1 ^Q 



= 0, 



also in unserem Fall: 



cos s cos (g + dg) dx 



cos 7) cos (?; + drj) dy \ = ; 



cos C cos (^ + f?C) dz I 



d. h. nach Weglassen gemeinsamer Faktoren: 



{pi _ g.2 _ 1) 2 + 2_p (g^ - v) [{p + dpy^ - (2 + dqY- 1] 2 + 2 Qj + (Zj^) [(g + fZg) ^ - v] dx\ 

 (-l)2_g2+i) ,,_2 . Q52 + (Z,«) [-0:i + f?jJ)2-(2+fZ<z)2+l] v -2 .{(p + dp) X + (q+dq)ii'\ dsi 



hierbei ist zur Abkürzung statt cos A, cos,«, cos z^ nur noch ?., fi, v ge- 

 schrieben , so dafs k"^ + fi- + v"^ = 1 ist. 



Wird nun die zweite Kolumne von der ersten subtrahiert, dann dj)^, 

 dipdg und d(f vernachlässigt, ferner die ^j fache erste und die g fache 

 zweite Zeile von der dritten subtrahiert, so erhält man nach Wegdividieren 

 von 2 {f + g^ + 1) 



(i'- — (p- — 1) ''- + 2^3 2 // — 2p V {pdp — 2^2) 2 + ( j) d 2 + 2 '^P) H — dp ' V dx 

 = I ( — p"^ + 2^ — 1)^ — 221^ + 2^:12^ ( — p dp + qdq)fi — dq- v + (pdq + q dpi) X dy 

 p l -\- qH — V dp • ?. + d q ' (i 



