Die Reflexion eines Parallelstrahlenbüudels am Paraboloid. 7 



Da dp =^ rdx + sdy. dq ^ sdx + tdy, so erhält man: 



dx- {{X'^p(i+ii''-pq—Xn-lvq^—[ivp){rdx-\-sdy) + {-l'^p''-—fr-p-—fi'^—v'^ + 2Xvp){sdx+tdii)} 

 —dy- l{—}.'-q-~fi-q-~?S^~v'^+2[ivq){rdx+sdy)+{?.'^pq+fi'-pg[—lli — /ivq—fivp){sdx+tdy)} = 



oder endlich: 



U )"■ ^^ (('^■■' + .«-)a- — 2.Mr2 + 22 + r2) — t ((22 + ,u^)pq — fivp — Xvq^ Xf^)] 

 — 1^ • [< ((22 + ,«2)_p2 — 22riJ + //2 + ,,2) _ ,. ((22 + „2) q2^2(ivq + X'- + v'^)] 



+ [r{0^ + fi-i)pq — fivp — Xvq — Xii) — s({X''- + ij'i)p' — 2Xpp + /^2 -|_ j,2)] = q 



(3) 



Dies ist also die Differentialgleichung der Projektion 

 der katoptrischen Linien, die auf der Fläche z ^ f{x,y) bei 

 Reflexion der in der Richtung X, fi, v einfallenden Parallel- 

 strahlen entstehen. 



Zunächst sieht man, dafs Lichtstrahlen parallel zur ä- Achse {X^fi = 0, 

 v = l) wieder die Lindelöfsche Gleichung geben. 



Ferner war von vornherein klar, dafs eine Differentialgleichung erster 

 Ordnung zweiten Grades zu erwarten war: in jedem Punkt der spiegelnden 

 Fläche gibt es zwei Fortschreitungsrichtungen, längs denen die reflektierten 

 Strahlen einander schneiden. 



Die Differentialgleichung ist homogen in Xfiv, ebenso in r s t, und 

 besitzt eine gewisse Symmetrie, die in folgender Form deutlicher zum Aus- 

 druck kommt: 



(ih F3 — 2«3 F-i) äy"^ — (t«3 F^ — M| F3) dx dy -\- (Mj F^ — % F^ ) dx^ = , 

 P, = {Xi + fi->-)pi — 2Xrp+fi'i + j'-i 



F.2 = (22-|-^2)^gf y,y-p lyq^ l^ 



F^ = (;.2+^2)g,2_2^j;2+22+I^2 



ist, und wo i^j aus F^ durch Vertauschen von p mit g, von X mit ^l entsteht. 



Es ist zu erwarten, dafs sich die quadratische Gleichung in allen 

 den Fällen in zwei lineare zerspalten läfst, wo man nach Natur der Auf- 

 gabe die eine Schar katoptrischer Linien schon kennt, also bei den ab- 

 wickelbaren Flächen, wo die gradlinigen Erzeugenden katoptrische Linien 

 sein müssen. 



Als Beispiel sei der allgemeine Zylinder und der Kreiskegel benutzt. 



Ist z ^ ^) [x] die Gleichung des Zylinders, so ist j9 = 93', g = 0, 

 r = (p", s ^ 0, t ^= und man erhält: 



(i'2 -f- /2) . ff," . ax . dy — (p" • i/ipcp' + Xfi) dx'- = 0, 



