8 V. Thiersch, 



also 1. dx = X = konst., d= h. die Erzeugenden, 



d. b. y = j^^-^ [V .,p(x) + ?..x + C] (mit ;.^ + fi^- + »•'- = 1). 



Ist ferner z'' = c" (ar + y^) die Gleichung- des Kreiskegels, so ist: 

 ex c^x cy c^y 



\/x-t + y'^ ^ ' \Jx'- + y'^ ^ 



y'^ c^y"^ xy c^xy x"^ c^x"^ 



Nach Einsetzen dieser Werte und Multiplikation der ganzen Gleichung 

 mit -z wird die Differential ffleichuno- zunächst: 



c 



j .Tüll KAIV/ ■^iüV^iV^Xl.,.l*.Ql<^,^Xil..lQ 



y2 [— a;?/ ((;.' + //2) cUß — 2c^(ivy [/«^ + ?/2 + c^ (a;2 + «/i) (;i2 j^ ^2)) 



— ä:2 ((;.2 + ^2) c^xy — c'ivitix + ly) \lx'>- + y"- — 2 // c^ (a;2 + ?/2))] 

 — «/' [a;2 ((22 + //2) c* a;2 _ 2 c3 jl v a; l/a;2 + y'- + c^ («2 + ?/2) (^2 + v^)) 



— y"- ((^-^ + ,«-) c*y-^—2c^(ivy l/^2 + 3^2 + ^2 (a;2 + y2) (;.2 4- ^2))J 

 + b"^ ((^2 + /<2) c4 Ät/ — c3 2^ (^ a; + A 2/) y'x-i + 2/2 — ;. ,« c2 (a;2 + 2/2)) 



+ xy {{X^- + //2) c4 a;2 _ 2 c3 2 V a; [/a;2 + 3/2 + c2 («2 + 2/2) (/<2 + i,2))J = 0. 



Man kann c" ausscheiden und nach Ausmultiplikation der runden 

 Klammern auch i/a;« + 2/2 und erhält: 



2/'2 -xlvci/ix"- + ;ia,-2/ + 2//2/'2) + \/x^+^- {Xfix — {c'- (;.2 + ,«2) + ;;2_,_ ^2}^)] 

 + y'-[2vc {kx^ — ,«2/^) — l/«M^2^ ( Ic^ {;.2 + ^2) + „2 ^ ^-i] ^2 _ {^2 (^2 + ^2) + ^2 + ,,2) ,ji)] 

 — y[vc{2Xx-^ + fxxy + Xy'-) — [/x-'-'+T- (!c2 (/I2 + //2) + ,«2 + ^2)^ _ 2^2/)] = 

 = (»/ — «/) (y [r c (/^a:2 + Xxy + 2/^2/-) + l/^+l/^ (;i/^a; — Ic2 (P + //2) + ^2 + j;2> y)] 



+ [v C (2;.:r2 + ^„a-y + ;.^2) _ \/^+Y' ({C2 (>12 + ,w2) + /^2 + j,,2} j; _ X fl y)]} 



Hier gibt der erste Faktor die Erzeugenden y ^ k • x des Kegels; 

 der zweite liefert eine homogene Differentialgleichung, die durch die Sub- 

 stitution y = V ' X auf das Integral führt : 



iog.+ f ^(/^ + ;..- + 2,..2) + (,^_,,)^/iT^ _ ^^^^^^^ 



J 2vc{X + iiv) (1 + Vi) — {a — '2X(iv + hv>) [/l + »2 



WO 



C2 (;.2 + ^2) _|_ y2 _^ ,,2 ;, = c2 (^2 + («2) + XS'- + I'2. 



