Die Reflexion eines Parallelstrahlenbündels am Paraboloid. 9 



Das Inteo-ral ist auf die Form zu brino-en / hsV^ + 3 h=]'^'" 



J ^^^^^ P3(t))l/l+W 



und durch bekannte Funktionen auszuwerten. 



(Einen Überblick über den Verlauf der zweiten Schar katoptrischer 

 Linien erhält man aber schneller, wenn man sie sich auf eine Normalebene 

 zu den einfallenden Strahlen projiziert denkt, wo sie dann nach der Lind e- 

 löf sehen Gleichung- die erste Schar, die hier ein Strahlenbüschel bilden, 

 orthogonal durchsetzen müssen. Die zweite Schar mufs also Schnitte des 

 Kegels mit schiefstehenden Kreiszylindern vorstellen.) 



Die katoptrischen Linien auf dem elliptischen Paraboloid. 



Um im Fall des elliptischen Paraboloides: 



die Gleichung der katoptrischen Linien zu integrieren, soUeji die Variablen 

 getrennt werden. Dies gelingt durch die Substitution : 



z= (ax + ihy) (ax — ily) ^ § . tj , (2) 



5 == ax + ilij 



also: 



ij = ax — iby 



- = ™(g + ^;) 



^ = 27ö(^-'?)- 



Dann ist j> = Sa'a; == a (g + ?;) g =: 2V^y = t (§ — r]) 



r = 2a^, s = 0, f = 2&2 



und ^-^ == a(d§ — d7j) ^ a^ ^ l —rj' 



dx ih {d§ -\- drj) ib l+Tj' 



Die Diiferentialgleichung 



2/"- [sF^ — tF.J—y'ltFi—rF,] + [rF.^ — sF,] = 

 geht über in: 



wo jetzt: 



,2 ^ mE\—o^^F\ — 2abiF\ 

 ^' b'^Ft—a'^F.^ + iabfF.i' ^^ 



F, = a2 (;.2 + ^2) (I + np — 2aXv(§ + T]) + fi-^ + v'^ 



F^ = —abi{).-i + ßi) (p — Tj'i) — afiv {£, + rf) + ib Xv (S,—ri) — X ii 



-F3 = — ö'^ (^-^ + ß"^) (s — # + 2ibix V ig — rj) + A2 + v2 ist. 



Nova Acta CI. Nr. 1. 2 



