Die Reflexion eines Parallelstrahlenbündels am Paraboloid. 



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j( r= ai 



;i2+/^2 



-{^aP-Xx + 2b''-fc^ — v) 





umo-ekehrt : 



a2 22 + &V2 



1 





(5) 



2 a &2 (22 _|_ ^2) 



d. h. die Projektion der Icatoptrischen Linien in die a;y-Ebene, 

 die bei Reflexion von Parallelstrahlen der Richtung X, (i. v am 

 elliptischen Paraboloid s = a^ x' + b''- y^ auftreten, ist eine Schar 

 von Kegelschnitten, die auf das schiefwinklige, normierte Ko- 

 ordinatensystem it, V der Grleichungen (5) bezogen, die Gleichung 

 konfokaler Kegelschnitte besitzt. 



^ = 3, ;« 



,DieFig.2 (S. 12) zeigt den Fall a = -, 6 = ^, ,. — g, ^^ — , . _ g. 



Nun sieht man sofort folgende Beziehungen: Die Achsen der u und v 

 sind für die Kegelschnitte konjugierte Durchmesser. Die Z7-Achse hat die 

 Richtung der in die a;?/-Ebene projizierten einfallenden Strahlen: iix — A?/+c = 0. 

 Die F- Achse ist die Projektion der Selbstschattengrenze des Paraboloides 

 in die a; 2/ -Ebene. Denn die Bedingung für die Grrenze zwischen dem be- 

 lichteten und dem im Schatten liegenden Teil des Paraboloides ist, dafs 

 der in Fig. 1 mit u bezeichnete Winkel zwischen einfallendem Strahl und 



Flächennormale gleich ^ ist, d. h. dafs 



a/. + ßii + yv = oder pX + q[j. — v = oder für ^ = a'^x- + 1)'^^'^ 

 ^a^Xx + ^h-ifiy — v = 0, d. h. u = Q ist. 

 Ferner ist leicht zu zeigen, dafs die Achsen TJ und V auch kon- 

 jugierte Richtungen für jeden Horizontalschnitt z = k des Paraboloides sind. 

 Besondere Punkte auf dem Spiegel sind: der Schnittpunkt M der 

 beiden ebenen katoptrischen Linien u ^ und ü = 0, und die beiden 

 brennpunktartigen Punkte Bi mit m ^ 1, ü = und B.. mit m = — 1, v = 0. 

 Ihre rechtwinkligen Koordinaten seien hier verzeichnet: 



M{u = 0,v^ 0) 

 Bi (u = 1, -y = 0) 

 Bo (?< = — 1, V = 



X 



X.V 



y 



(IV 



0) 



2 a2 (22 + ^2) 



;. (g + 6 v) 



2 an (;.2 + fi-i) 



X (bv — ä) 



2 &2 (;i2 + ^2) 



fi {h + av) 



2~äbÜX^+^ 



/x (av — b) 



2 »2 & (;.2 4_ ^2) 2 a &2 (A2 + fi^) 



4 «2 ii (;i2 _[_ ^2)2 



22 (a + 02^)2 + ^2 (&-|-aj;)2 



4 «2 62 (22 +^2)2 



22(ffl — 5r)2 + ^2(;)_at>)2 



4a2ö2(22 + jM2)2 



2* 



