Die Reflexion eines Parallelstrahlenbündels am Paraboloid. 13 



.des Spiegels auf einer Kurve h = Konst. mit gleichem Wert von v aber 

 entgegengesetzt gleichem von u auf einem Lichtstrahl liegen. So werden 

 also die katoptrischen Linien — Raumkurven vierter Ordnung — in doppelt 

 zählende Kegelschnitte projiziert. Die Schar mit h<l kann offenbar nur 

 Parabeln liefern. Die andere Schar sind also die zugehörigen Orthogonal- 

 parabeln. Die Punkte Bi und B.2 liefern den Brennpunkt aller dieser kon- 

 fokalen Parabeln. Ausgezeichnet ist wieder v = als projizierte Kontur 

 des Spiegels, und u = als Achse aller Parabeln. Hiermit sind B^ und B.^ 

 geometrisch auf dem Spiegel definiert: als auf dem Strahl liegend, der durch 

 den Brennpunkt der Kontur läuft. 



Die Projektion der katoptrischen Linien durch die einfallenden 

 Strahlen auf eine zugehörige Wellenebene ist also ein Orthogonalsystem 

 konfokaler Parabeln. 



§ 3. 

 Die primäre Brennfläclie des Eotationsparaboloides. 



Es zeigt sich, dafs man wenigstens für das Rotationsparaboloid auch 

 die Gleichung der Brennfläche aufstellen kann. Man hat nur die Formeln 

 der Theorie der Strahlensysteme auf die von den reflektierten Strahlen ge- 

 bildete Kongruenz anzuwenden. 



Gehen wir zunächst wieder von der allgemeinen Fläche z ^ f [x, y) 

 aus. Als Bezugsfläche diene diese spiegelnde Fläche selbst, während die 

 Richtung eines Strahles ist: 



^ (j>- — g- — 1) ^ + '^V (qfi — p ) 2p (P^ + q/^— v ) j 2j?m 



^ p'i + qi + 1 p"^ + q^ + 1 n 



_(^p^+qi—l)ft+2q(pX—v)_2qipX + qii — v) _ 2qm ^ 



[/ - fl , (L) 



c = 



P- + q' + l p- -]- cp- -\-\ '^ n 



{—p'^ — q^ + Vjv — 2{pX+qii) _ 2{pX + q/i — v) _ 2m 



P'^ + q'^ + l ^ i?2 + 32 -|_ 1 ^ ~ ~^ 



wo m := px + g[n—v und n = j/ -|- g' -)- 1 gesetzt wurde. 



Um nun z. B. mit den von Bianchi in der Differentialgeometrie 

 gebrauchten Bezeichnungen in Einklang zu bleiben, hat man: 



M = a;, V = y, z ^ f {x,y) 



— — 1 i^ — n l^_n ^_i ^— ^_ 



