Die Reflexion eines Parallelstrahlenbündels am Paraboloid. 



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{X^- + fi'-)p-'- — 2Xv2} + fi'- + v-^ =1^1 



{k- + fi-) pq — fivp — Xvq — kf/ = F-i 



{X"- + ,«2) qi _ 2 ,M »• 2 + /15 + v'- = F^ 



-E = 4 b'-Fs — ^rsFn + s^F^] 



[rsF^ —{rt + s^')F2 + stF^] 



G = - [s-^F., — 2stF. + P-Fy]. 



(4) 



oder: 



Die kleineu FuudamentalgTÖfsen e, f, f, g sind rascher gebildet; 



e = -^ + -^ ' P ^ —^ (n{rm + p m^) — pnin,) {nm,p — mn,p) 



ox X n- vh'- 



2rm 2j- , 

 2sni 2s 



2tm 2 t 



{pl + qii—v). 



(5) 



Jetzt kann man wieder zur Düferentialgleichnng- der katoptrischen 

 Linien gelangen, indem man die gewonnenen Gröfsen in die Bedingungs- 

 gleichung für die Anordnung der Strahlen nach abwickelbaren Flächen 

 einsetzt, also in die Gleichung: 



(fE—eF)du-'--\-{gF—{f—f)F—ea)dudv + {gF—fG)dv-'- = 0. 



Andererseits aber kann man auch die quadratische Gleichung auf- 

 stellen, die die auf jedem Strahl gemessenen Abszissen q der beiden Brenn- 

 punkte liefert. Allgemein lautet sie: 



{EG — F-^-) q1 + {gE — {f + f) F + eG) Q + eg — f . f = 0. 



Nach Weglassen des Faktors rt — s^ erhält man so die quadratische 

 Gleichung für q: 



4:{FiFu.—F-2'^){rt—s'-)Q'>- + 2moi{rF^ — 2sF, + tF^)Q + mP-n'^ n:r= 0, 



die noch um den Faktor m = jj ;. + g /^ — v gekürzt werden kann , da die 

 Relation besteht: 



Fi F3 — FoJ = m\ 



also 



4m {rt — s-i) Q'i — 2n {rF^ — 2 SF2 + tFi) g+mn"^ = 0. 



(6) 



