16 



F. Thiersch, 



Uud nun ist es das Bemerkenswerte, dafs im Fall des Rotations- 

 paraboloides diese Gleichnng für o rational in den Parametern der katop- 

 trischen Linien lösbar ist. 



Zunächst sollen für das Rotationsparaboloid die bisherigen 

 Formeln zusammengestellt werden. Die Gleichung sei 



so dafs also beim elliptischen Paraboloid a^ = &" = j^ zu setzen ist und f 

 die Brennweite des Spiegels bedeutet. 



Dann wird 



1 1 



p=^^X, q 



2f 



y. >■ 



X = 



2f 



1 



2/' 

 1 

 ' 27 



= 0, ? = — . 



{(iX- 



'ly) 

 2/- 



Zj) + qf/ — )■ := IC, 



1 



P^ + 3- + 1 



,pi^ + ^' + ^n = j^i^ 



[u''-+v^ + 2vu+l]. 



(7) 



Das Koordinatensystem u, v ist hier rechtwinklig und hat auf beiden 

 Achsen gleiche und mit dem x^- System übei'ein stimmende Mafseinheiteu. 





Die U- 



Der Anfangspunkt u ^ 0, v = liegt in a; := ,, \, , j/ 



Achse V =^ läuft durch den Ursprung x = y ^= 0. 



Die Projektion der katoptrischen Linien in die .r?/- Ebene beim 

 Rotationsparaboloid ist also ein Orthogonalsystem konfokaler Ellipsen und 

 Hyperbeln mit den Brennpunkten in 



;.2 + [ii 



2ft{l+v)f 



und 



21(1 — v)f 

 r- + [i^- 



2^ (!-»■)/■ 



p + ll^ ■" l' + fl^ 



Die diesen Brennpunkten entsprechenden Punkte Bj und Bo auf dem 

 Spiegel liegen auf jenem einfallenden Lichtstrahl, der durch den Brenn- 

 punkt F des Spiegels: x = 0, ij ^ 0, s = f geht. 



Zur Aufstellung der Gleichung für q braucht man: F^, F^ und 



rF, + tF,: 



