Die Reflexion eines Parallelstrahlenbündels am Paraboloid. 29 



Tangenten parallel zur ?/- Achse hat man für 



Ih . h-i^ ft,^ — 1)2 



1/2 h.p — 1 ~ X \ß%P- — 1 ' - A l/(2 7*22 — 1)3 



Die Kurven des ersten Mantels verlaufen ganz im Endlichen; da auch z 

 endlich bleibt, so gilt: 



Der erste Mantel der Brennfläche besitzt eine Schar ge- 

 schlossener geodätischer Linien, deren jede zwei Spitzen besitzt. 



Für die Kurven /?2 = konst. des zweiten Mantels liefert a; = 0, 

 \ = 0, y = T l//i-2- — 1 keine reellen Schnittpunkte mit der ?/- Achse; dagegen 



X = 0, ]%{ + 3hJ-21i,' li.{ = für h2>\, da \' = g^^. Die Kurven 



haben wieder Spitzen auf der a;-Achse und laufen durchs Unendliche. Die 

 Ordnung der Kurven ist sechs. 



Die Projektion in die X5^-Ebene. 



Hier erhalten wir schon wegen der ganzen Symmetrie zu F = 

 Kurven von der dritten Ordnung. 



1. h^ = konst. Da vx — Xs = — ^ [3h'^ + V + ^vJh^ fe] , so haben 



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wir für h = die Asj'mptote vx — Xs = — — hi'^. Da sich schon in der 



a;2/-Projektion eine Asymptote parallel zur a;-Achse ergab, so folgt: Die 

 ßaumkurven h^ = konst. des zweiten Mantels besitzen Asym- 

 ptoten parallel zur einfallenden Lichtrichtung (bei Annäherung 

 des Spiegelpunktes an die Selbstschattengrenze). 



Die Elimination von h, ergibt mit Benutzung der Abkürzungen: 



a = 37ij — 27«i3, h = '2vhi^; x' = 2kx, ^' = 22ra; — 2^2^; + 37i,2, 

 x" = x' + ab, s" ^ ag' — \^ 

 die Gleichung: 



a;"2^" + 7j^3a;"2 _ ah x" z" + a^"2 = 0; 

 hierbei sind nun 



a;" = 2).xA-2v\^{^ — 2\'^\ e" = 7*i (3 — 2 7»i2) (2;.j;a; — 2 ^2^) + 2 Ä^s (1 _7»i2) 



schiefwinklige normierte Koordinaten. 



Der Anfangspunkt x" = 0, z" = ist Doppelpunkt, seine alten 

 Koordinaten sind 



^,--.ZnU3-2k^) , -^-^V(3-2 7>,2)2 + /,^2(4-3 7>,2) 

 X ^ ;.''i ^^ ^'* )' ^- 22(3-2Äi2). 



