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Die genauere Unterscheidung nach Schleife, Spitze oder isoliertem Punkt 

 hängt von den Wurzeln der Gleichung /(j^ (3 — 2 7;i2) (l — 3 r^7i,^ + 2r-i;(,«) = o 

 ab. Die Kurven haben den Charakter der speziellen Kurve L^-, sie stellen 

 die Projektion der Parameterlinien der Brennfläche natürlich nur insoweit 

 dar, als die Parameterwerte in einem der vier Streifen I — W liegen. 



2. h., = konst. Wieder hat man Kurven dritter Ordnung. I)er 

 Doppelpunkt hat die Parameterwerte 



''1 = ~ 2W^^ f" ^'-^ ± l/3(2 7«o2-l-r2Ä,4)] 

 und die Koordinaten: 



•"» = 2 ;;M2 //--,' _ -IJ3 tS ^'' ''2° + 6 ^•- ''2^ (1-4 h.^) + 9 (2 h.^ — 1)2 + (2 7*.,2 _ 1)3]. 



Durch die Verschiebung x' = a;^a;„, z' = s — ^o und die Abkürzungen: 

 2 7io2— 1 = /.i, 3(2 7(22 — l — i'2 7(24) = iJ2; li\^vK^ ^ t, wlrd : 



''' ^ 21^5 f ^' ~ ''■^' -^-] • (^— 3 1' ^'2^), ^' = 2ll:;^5 i*- — ''2- ^-] ('■•(<- 3 2^ 7^,3) + 3 7(., Ä:) 

 und weiter mit 



x" = 7; {v x' + ;. li s') , ^" = ^ [(7; — j^2 7(,2) a;' — 2 r 7*22 7; ^'J 



folgt : """ = Jl [t-—J>r m , ^" = — ^2 * • t^' - ''2- ^'] > 



SO dafs die Verwandtschaft mit L^ wieder deutlich ist. Durch Elimination 

 von t ergibt sich 



2 / x"^ + 3 7(02 i?2 x"-i — 27 22 £■"2 = 0. 



Zur besseren Veranschaulichung der Fläche mögen ferner noch die 

 Horizontalschnitte Z — konst. dienen, ohne dafs deren Gleichungen abgeleitet 

 werden sollen. Die Gestalt läfst sich durch Zeichnung der bisherigen Er- 

 gebnisse für einen bestimmten Fall erkennen. Man vergleiche hierzu auch 

 die Tafel IL 



Beim ersten Mantel ergibt sich oberhalb von 5/ ein Schnitt von der 

 hier (Fig. 14) mit A bezeichneten Form mit zwei eingezogenen Spitzen; unter- 

 halb von Bi' verschwindet die eine Spitze und wird durch eine leichte Ein- 

 buchtung ersetzt, die später verschwindet, Figuren B und C. Unterhalb von 

 B.2 verschwindet auch die andere Spitze (D) und schliefslich bleibt ein 

 einfaches Oval E, das sich auf einen Punkt reduziert. 



