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F. Thiersch, 



die beiden Berührungspunkte von L^ und L,, ferner K der Doppelpunkt von 

 Li und H der stets vorhandene Schnitt von Li und L^ sei, erkennt man; 

 Bei kleinem Einfallswinkel (gegen die Achse) gibt es nur Schnitte 

 zwischen dem ersten und dem zweiten Mantel, und zwar zwei getrennte 

 geschlossene Züge; der eine verbindet B^' mit H, der andere i>.>' mit K. 

 In H, Bi und B.,' sind Spitzen vorhanden (Fig. 16). Bei grüfser werdendem Ein- 

 fallswinkel schneidet aber einmal die Kiirve L, die Kurve L^ in zwei weiteren 

 reellen Punkten U und F; d. h. hier ist noch eine Do]ipelkurve des zweiten 

 Mantels für sich, ein Schnitt seiner beiden Schalen vorhanden (Fig. 17a). Solange 



ji 1—1 



dabei der Einfallswinkel kleiner als ^ bleibt, d.h. ;. <-|/3; i' > ö ^^^ '^"^r- 



ji 1 



laufen die drei nun vorhandenen Züge noch getrennt. Im Fall -, A = -|/3, 



1 6 2, 



i» = - rücken K, TJ und 5/ zusammen , die drei Schnittkurven haben B^' 



Figur 16. 



Fiffur 17. 



gemeinsam. Bei noch gröfserem Einfallswinkel haben sie zwei zur a;^-Ebene 

 symmetrisch liegende Punkte gemein (Fig. 17 b). Ist schliefslich A == 1, so ist 

 auch zur x^- Ebene Symmetrie vorhanden, der Schnitt der beiden Schalen 

 des zweiten Mantels ist eben und liegt in der F.Z'- Ebene. (Vgl. Tafel IV.) 

 Um schliefslich die Ordnung der Brennfläche zu ermitteln, kann 

 man sich auf die Untersuchungen von A. Voss über die projektive Zentra- 

 fläche') beziehen. Dort wird das Strahlensystem {x, y) betrachtet, wenn 

 die homogenen Koordinaten Xi eine Fläche n ter Ordnung /" == erfüllen und 

 die Punkte «/, als ganze rationale Funktionen rp^ vom sten Grad gegeben sind. 

 Als Fläche f = diene jetzt das Rotationsparaboloid mit der Brennweite i, also 

 f ^ x^^ + X.2- — 2xsXi; um geeignete Funktionen »/', zu erhalten, trage man 

 auf dem reflektierten Strahl eine beliebige passend gewählte Funktion t von 



1) A. Vofs, Über die projektive Centrafläche einer algebr. Fläche wter Ordnung. 

 Bayer. Akademie. Abk IL Cl. XVI. Bd. II. Abt. München 1887. 



