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Gehört ferner P zugleich der Ebene E^ an, so i?t t = 0. d. h.: 

 Die "Welleufläche J\\ schneidet aufserdem die Ebene E^ 

 zugleich mit dem Spiegel in einer Ellipse. 



In der Tat: soll ein Punkt X^Y^Z^ der Wellenfläche auch der 

 Ebene Et angehören, so miifs ).Xt + vZt + ^- — r: = sein, d.h. für die Para- 

 meter X, y gilt die Bedingung: 



;.2 vx*^2 ;. (;.2 — r^) x^ + «2 (;_2 vy2 — 3 /2 „ _j. j;3 _ 2 /2 ]:) 



— 2 ;. r iV {ri/i — 2 1;) -L v^ (iß -f 1) — 2 j-2 /.- = 0. 



Die linke Seite ist zerlegbar und gibt 



(/ X. — v)i . {v A-- ^2/.x^v{f-^\) — 2 Je) = ; (3) 



der zweite Faktor stellt auch den Schnitt des Spiegels mit En vor. 



Der gemeinsame Schnitt der drei Flächen: Spiegel, Ebene 

 Et und Wellenfläche TT'i. ist eine Ellipse, deren Projektion in die 

 xy-Ebene ein Kreis ist: 



;.\"- 1 



-f - -f 7/2 _ (2 1^ A- -f ;.2 — J.2) ^ 0. 



; 



Der !^Ettelpuukt dieses Kreises ist unabhängig von A- in « = — "i' ^ ^= ^' ^^ 



dafs die verschiedenen Wellenflächen konzentrische Kreise geben. 



unter den ebenen Schnitten der Wellenfläche ergibt sich nur noch 

 der in der Symmetrieebene y = 0, der dann auch die Wellenlinie des ebenen 

 Problems der Parabel liefert, in einfacher Form. Man erhält für y ^ 

 die Evolvente der Kurve L^ und zwar die Kurve vierter Ordnung: 





(4) 



Horizontale Tangenten (parallel zur a:- Achse) hat man unabhängig 

 von k tur «i = — - — , ic, = — = — i und zwar in Xt ^ — -. — , 2i ^ A- — v — - 



und in X^ =■ ^T , Z* = v — Ä- — -. Es sind die zu 5/ und _B.,' gehörigen 



Punkte JN'i und Jv",, die für die Fläche TFj die Rolle von Nabel punkten 

 spielen, wie aus der Betrachtung über die Krümmungsradien unten sofort 

 erhellt. 



Die Spitze der Kurve gehört zu der reellen Wurzel der Gleichung 

 lx^-\-Hx — 2Ä: = 0, d. h. zu dem Parameterwert: 



