Die Reflexion eines Parallelstrahlenbündels am Paraboloid. 37 



}j{V^ + \^^^^^- + ^^-\/^^Tr~\. (5) 



Die Krümmungsradien der Wellenfläche ergeben sich einfach aus 

 dem Aufbau der beiden Brennflächen durch Abtragen der Strecken q und t: 

 7' = Q — t, also 



2;.2/(, 



[A^s + 3 r 7)j2 /(, + 3 \ /(.^a + v Äj^ + 2 )ß h^ {v — 7c)] 



(6) 



,-., = — —i-- [v Ai3 -L 3 Ji^2 /i, + 3 ^• 7*1 h;^ + h' + 2 22 Äj (v — Ä)] 

 und hieraus das Krümmungsmafs: 



1 = n r. = , ,/, , [v 7(i6 + 3 (1 + x-i) A^ä /,,-, ^- 15 ,, ]i^i n.^. + 10 (1 + j;2) 7,,^3 /»^s + 15 j,. n^'i ]i^i 

 JL 4: /■* /i-j^ «2 



+ 3 (1 + V2) 7t^ /t^ö _i_ V ]t,^ _^ 2 /2 (j; — 7c) (7(i4 + 4 2, 7,^3 7,2 + 6 71^2 7*22 + 4 1; \ hn^ + 7^2*) 

 + 4 /-t 7)1 7(0 (r — 7c)]. 



Die Rückkehrkante der Wellenfläche W^ ist durch die Bedingung 

 — =r oder p — # = gegeben: in der Tat ist q = t die Bedingung, dafs 



IL 



man gemeinsame Punkte von Brenn- und Wellenfläche hat. D. h. die 

 Rückkehrkante ist, wenn man die beiden Mäntel wieder unterscheidet, ge- 

 geben durch: 



ÄjS -L 3 j; 7,^2 7,, _{_ 3 1^ 7i.,2 + V Ji^3 4- 2 /2 7i2 (v — ]c) = mit 7(i2 ^ 1, 7*2 ^ 1 f. d. 1. Mantel ) 



V \» + 3 7;i2 7*2 + 3 xj 7«! 7*22 + M^ + 2 /2 Ä^ (v— Tc) = mit h^ ^ 1, 7*22 ^ 1 f. d. 2. „ J ^ ^ 



In den Parametern x, y lassen sich beide Bedingungen zusammen- 

 fassen zu der einen: 



/2vw3 + 22(8t(+2j^ — 27c)«2_f-4M(M+i,_7c)2 = , ^^T 



u ^^ Xx — V. 



Die Rückkehrkante jeder Wellenfläche W^ entspricht als spezielle 

 Kurve r = konst., auf der Evolutenfläche, d. h. ersten Brennfläche einer 

 orthogonalen Trajektorie der geodätischen Parameterlinien, d. h.: 



Die Schar der Rückkehrkanten aller Wellenflächen PF^ 

 bildet auf der primären Brennfläche eine Schar orthogonaler 

 Trajektorien der in Grleichung 14 von § 3 durch h^ = konst. 

 gegebenen geodätischen Linien. 



Für die Ordnung der Wellenfläche läfst sich eine obere Grenze an- 

 geben : ein ebener Schnitt a^ X„ + /J^ Z^ + 71 Z^ — 1 = liefert, in den Para- 

 metern X, y eine Gleichung vierter Ordnung; ein zweiter Schnitt «2X4 + . . . = 

 eine zweite solche, D. h. die Ordnung ist höchstens 16. 



