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F. Thierach, 



reell (abgesehen von einem etwa reellen Doppelpunkt, der nach Grleichung (16) 



aus ^Äo*^., ,^^^ 4^^ + 1 = folsren würde). Die Endpunkte des reellen 



Stückes jeder Parabel liegen natürlich auf der Wellenlinie W^. Bei der 

 Rückkehrkante erhalten wir so die Spitze der Wellenlinie und den schon 

 erwähnten Punkt V, in dem die Doppelkurve die Wellenlinie berührt. Denn 

 jene Spitze wird nach früherem aus (9) durch ih = 1, /'i^ -}- 3 vh^^ + 3/(1 + 2; = 

 gewonnen und für die Rückkehikaute ist in (16) ß- = &-^ zu setzen, wo ^0 



die Gleichung ^0'+ 3v*o--r 3*o + '' = befriedigt. Dafs andererseits Ji.,^-- 



in (16) den Ansatzpunkt V der Doppelkurve gibt, sieht man daraus, dafs 

 dieser durch den Parameter Uo mit vuo^ + Suq'^ + Svio^ + l =: gegeben war, 

 wo u = hilh, so dafs beide Punkte aus der Grleichung der Wellenfiäche 

 durch Ji^ = 1 und i- Jh'' + S h;^ + 3 r h^ -^ 1 = folgen. 



Um die Gleichungen der Rückkehrkante in bequemere Form zu bringen, 



beachte man, dafs wegen ^0^ + 3 v i9-o'- + 3 >9^o + ?' = auch 



J'^o 



2ß,+v 



V + 2j;^o+l 



-r = —». 



und 



C^—^oT- 



— ^0 (3 +.%■-) ist. 



Dann ergibt sich für die Rückkehr kante mit liy als Parameter: 



1 / , „, 1 



■^o'/'2^ 



,% (3 + *„■-) /'2- 



1/(1— ,%-i7/,2)M/'2-2— 1) 



*o(3 + 9„2) 



2v 



I 



I 

 ]V 

 V 



\ 







v/ 



^ 







y 





"^ ^ 





/■' 



/: 



Figur 23. 



Horizontalschnitte der Wellenfiäche in der 

 Nähe von V. 



7(o2. 



(19) 



Hiemit ist auch eine Kontrolle gegeben, 

 da die Rückkehrkante auf der ersten 

 Brennfläche liegen mufs und obige 

 Gleichung wirklich aus dieser für 

 J^i = O-Q h^ folgt , wobei in s nur zu be- 

 achten ist, dafs auch viv&-o^ + 3&ü- + 3v9-Q 

 + i) + r-^o(3 + ^o-) = ist. 



Man bestätigt nun durch blofse 

 Rechnung, dafs die Rückkehrkante in V, 

 wo sie eine Spitze besitzt, auch die 

 ebene Symmetriekurve und damit die 

 Doppelkurve berührt. Führt man in der 

 Nähe dieses singuläreu Punktes V hori- 

 zontale Schnitte, so erhält man Figuren 

 nebenstehender Art. Die Krümmungs- 



