Die Reflexion eines Parallelstralilenbündels am Paraboloid. 



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nach T, und von B.2 nach T, und zurück hat der zweite Mantel für sich 

 noch eine Schnittkurve seiner beiden Schalen in X = 0, mit dem Scheitel 

 in K. Man erhält eine Kurve fünfter Ordnung, in Parameterform: 



r2 = 



2t— l ' 



Z = 



2(2^—1) 



-, wo t = li^~ — 1. 



Die Kurve hat zwei getrennte Zweige ; der 

 eine zieht sich mit zwei Ästen vom Punkte K 

 als Scheitel nach oben, der andere parabelartig 

 von F aus nach unten. Dieser Zweig gehört 

 aber zu negativen Werten von h.2 nnd daher 

 zu imaginären Punkten des Spiegels. Die Ab- 

 bildung in die Parameterebene h^ h^ ist schon in 

 Fio-. 11 oegeben. Die Abbildung in die Para- 

 meterebene xy ist 



X* + 2ä;2?/2 _ 3^4 _ 2 ä;2 — 6 j/2 + 3 = 0. 



Dies ist eine hyperbelartige Kurve mit den 



Scheiteln m x = +1/3, y = und den Asymptoten '^"^ 



x^±>j; es ist die Projektion der auf dem Spiegel liegenden ßaumkurve: 



l + i 



Y 



X = 



l/2< — l' 



y 



t(t—2) 



f2+ 1 



wo i = li{^ — 1. 



2^—1 ' 2i— 1 



Der vollständige Schnitt der ersten Brennfläche mit Z = enthält natürlich 

 noch die durch hy = 0, ?« = gegebene Parabel Z = ir2. jn der der erste 

 Mantel den Spiegel berührt. 



Die Wellen fläche. Im ursprünglichen Koordinatensystem sind 

 die Gleichungen: 



Xv = 



2 «3 



Yy = y{l + 



2a;2 



oder mit den Parametern li^ h^: 



z, -- H«^ + y"-) — 



2*2 



«2 -I- 2/2 _ 



Xv = 



2 7i,3 7«.,3 



2Ä,2Ä22 ^ 



= ^?7Vi^' ^^ - \/^'-'^'^ ^'^-'^{^ + ^;^^i 



z. 



{h^i—ll.}^ 



1 



'2'' 



(2) 



2(Äi2 + Ä,2) 



Berechnet man hiermit die Fimdamentalgröfsen E, F, G, so wird natürlich 

 F ={) und 



E 



/t, 2 (/,.^2_ 7^,2) (/,,2 + 3/^^2)2 

 (7,^2 + 7,^2)2 (1„A,2) 



G = 



(Ä,2+7*.2)2(7»22_l) 



und das Bogenelement: 



^' - (V4^2)2 1 — iizj^. — ^^h' + — 7^,-zn: — ^"'27 • 



(3) 



7* 



