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F. Thiersch, 



Die Aufstellung- der expliziten Flächen gleich ung- erfordert immer 

 noch eine umständliche Rechnung. Man benutzt wieder die Abkürzungen 

 n und ■?( und tindet mit x y 2 statt X,. Yy Zy geschrieben: 



4 (a;'- -r 2/- — 2 5)'' + (2.'--f l)2(a;2-!-y2_2^)3 — 32a;2(a;2 + ?/2 — 2ä')2 



— 72a;2(2«+l)2(a;2 + 2/- — 2~-) — 8a.-2(2^+l)<+64a;* = 



Die Wellentläche ist also von der achten Ordnung. Die Fläche 

 ist auf Tafel VI dargestellt mit den Krümmungslinien hi, li,. 



Der Schnitt mit der Symmetrieebene y = 

 gibt die ebene Wellenlinie ix^-^ix-s- — 36, t2^ 

 — 32^3 — 27a;2 = und aufserdem eine doppelt 

 zählende isolierte Parabel 2a;2 4-2^— 1 = 0, 

 die aber imaginären Spiegelpunkten entspricht. 

 In der Symmetrieebene x ^ liegt die 

 Rückkehrkante f- == 2^, und der Nullkreis 

 4?/2 _L (2^ — 1)2 = im Punkte F, als Scheitel 

 der erwähnten isolierten Parabel. 

 Die Horizontalschnitte in verschiedenen Höhen haben den in bei- 

 stehender Figur angedeuteten Verlauf. 



Fignr 28. 



§ 8- 

 Näherangsformeln und Anwendungen. 



Leitet man aus den aufgestellten exakten Gleichungen Näherungs- 

 formeln ab, so müssen sich Übereinstimmungen mit schon bekannten Er- 

 gebnissen einstellen. 



1. Handelt es sich zunächst darum, die erste Brennfläche in der 

 Umgebung des singulären Punktes Bi, wo Z*, = — 1, 7^, = + 1 ist, und der 

 die Stelle des Bildpunktes vertritt, durch eine Näherungsfläche zu ersetzen, so 



sei /(,2 = 1 — Tj'i, 7i.,2 = i + ,9-2; da die Koordinaten von B^' Xq = — 2f 



l—v 



r„ = 0, Zn = 



4f 



AX = -(X. 



f sind, so bilde man 

 1 



-^o), AT 



2/ 



(r,-ro), 



AZ= -{Z,- 



-z,) 



und entwickle nach Potenzen von 7/ und d- bis zur vierten Ordnung mit 

 Hilfe von 



7(, 7h =. — [1 _ i ,;2 -|_ i ^2 _ i (^2 _L ^2)2] _ 



^ =: — [1— i(7;2+£^2)_i(^4_2;;2ö-2_3^4)]. 



