Die Reflexion eines Parallelstrahlenbündels am Paraboloid. 57 



Fokalebene durch unsere Formeln ist ziemlich kompliziert. Nach § 4 ist 

 das System der reflektierten Strahlen von der Ordnung 14. Hier er- 

 halten wir zu o-egebenem Punkt X Y in der Fokalebene zwei Gleichung-en 

 vierten Grades für x und y. Bei kleinem Wert X erhält man in der Nähe 

 des Bildpuuktes Gebiete von vierfacher und von zweifacher Überdeckung 

 (vgl. auch Fig. 29). Einzelne Gerade und Punkte lassen sich indessen auch 

 im allgemeinen Fall verfolgen. Zunächst ist wichtig, dafs Y nicht nur für 

 ^ ^ 0, sondern auch für x = verschwindet, so dafs auch die «/-Achse 

 auf die X-Achse abgebildet wird. Hingegen wird X für keinen reellen 

 Punkt der x- Achse zu Null, sondern für Punkte der Hyperbel ip + x'^—y^^O, 

 die also in die Z- Achse abgebildet wird. Dagegen wird X für zwei Punkte 



der a;- Achse unendlich; überhaupt liefert der Kreis (x-\-2-f\ -\- y^ ^ i-L\ , 



der den Nenner von X und Y zu Null macht, das ünendlichferne in der 

 XF- Ebene, oder besser gesagt, er liefert reflektierte Strahlen parallel zur 

 Fokalebene. Der Kreis x-^y- = 4 p geht als Projektion des Schnittes der 

 Fokalebene mit dem Spiegel in den gleichgrofsen Kreis Z^ + r^ = ip über. 

 Die Schnittpunkte Cj, Co, x = 0, y = ±2/" jener zwei Kreise geben in der 

 Fokalebene unbestimmte, d. h. je nach dem Grenzübergang verschiedene 

 Punkte. Natürlich findet sich auch die Projektion der Selbstschattengrenze 



V 1 



wieder. Die Gerade x = 2-f gibt die Parabel X = --—— {i p — X'i Y-^). 



Endlich werden Strahlen durch den Brennpunkt F in der Fokalebene 



geliefert von Hyperbeln, da t= = li gibt: — = k, otfenbar eine 



^ j. a xy 



Schar gleichseitiger Hyperbeln mit drehendem Koordinatensystem. Alle 



gehen durch die singulären Punkte C^ Cj. Im übrigen geben allgemeine 



Gerade der Fokalebene natürlich Kurven vierter Ordnung in der Scheitelebene. 



Ein Kreis r = k auf dem Spiegel wird, da Y auch für x = ver- 

 schwindet, eine Kurve der Fokal ebene liefern, die die X"- Achse viermal 

 trifft (zwei Scheitel und ein Knotenpunkt). Derartige Kurven hat Crokett 

 berechnet und gezeichnet; er bemerkt auch, dafs mit wachsendem r der 

 Scheitel nicht monoton auf der X-Achse vorrückt. 



Für die Anwendung kommen natürlich wieder nur kleine Werte X 

 und r in Betracht, so dafs man in einem Gebiet x, y bleibt, das nicht ent- 

 fernt an den Kreis heranreicht, der in der Fokalebene die unendlich fernen 

 Punkte liefert. 



Wir stellen wieder Reihen nach X auf, wobei diesmal die Koeffizienten 



selbst wieder abgebrochene Potenzreihen in | und j. vorstellen. Ohne die 



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