18 JORNAL DE SCIENCIAS MATHEMATICAS 



mesma combinação occupam também o 2.° e 4.° logares a contar da 

 esquerda. Procedendo assim obteremos a combinação 



bcde. . .ce 



em que dois objectos c e e estão repelidos e, se tratarmos todas as ou- 

 tras combinações do mesmo modo, teremos formado as combinações dos 

 m objectos n a n com repetição total. 



Com eíTeito, entre as combinações dos m + n — \ objectos não re- 

 petidos poderemos distinguir as que não contém nenhum dos n — 1 ob- 

 jectos, e as que contém somente um d'elles, dois^ três,... ou todos. 

 As primeiras são as combinações w a w sem repetição dos m objectos. 

 As que contém 1 só dos n — 1 objectos transformam-se pela substitui- 

 ção indicada em combinações com 1 só objecto repetido e é evidente 

 que entre estas combinações nenhuma haverá que não possa obter-se 

 por este meio. Semelhantemente das combinações sem repetição, que 

 contém 2 dos n — 1 últimos objectos, resultarão todas as combinações 

 em que entram 2 objectos repelidos, e assim por diante até ás combi- 

 nações, em que entram todos os n — 1 objectos precedidos por um só 

 dos m objectos dados, as quaes pelo mesmo processo se converterão 

 em combinações de objectos eguaes áquelle dos m objectos por que 

 começarem. 



Podemos, pois, concluir d'este raciocinio que é 



[X] - 



m 4- n — 1 



C (20) 



16. — Comparando esta formula (20) com a formula (19) obtem-se 

 o seguiníe 



m-i-n — 1 m m "V m — 1 m x^ m — 2 



C= c+C> C + Cy C +etc.(21) 



n n \ y^ n — a. 2 y^ n~a, — Q 



que exprime uma propriedade curiosa das combinações sem repetição. 

 A formula (21) para w = 5, por exemplo, dá 



m -I- 4 m m /m — 1 m — 1 m — 1 m — 1 \ 



c= c+ c( C-f C+ C -{- c]-\- 



5 5 1\ 3 2 1 0/ 



m /m — 2 m — 2 



-j- C { C + 2 X C 



2 V 1 O 



