16 JORNAL DE SGIENCIAS MATHEMATIGAS 



Para valores de p eguaes a O, 1,2, etc, esta formula dá 



c, c y c , c y C ., etc. 



n ^ xy^ n — a. 'jy^ n — x — b 



Sommando estes termos acha-se a formula geral das combinações 

 com repetição 



Fm ~i m r "n. "m — 1 



c = c + c > c + 



L n J n 1 y^ n — a. 



m — 2 



+ ^ > ^ ^+etc. (17) 



na qual o termo geral é dado pela expressão (15). 



A formula (17) serve também para calcular o numero de combi- 

 nações com repetição nas quaes não podem entrar mais de p objectos 

 repetidos. 



Querendo, por exemplo, que nenhuma das combinações contenha 

 mais de três objectos repetidos, faremos p = 3 e a formula dar-nos-ha 



m r \ TO — 1 r \ to — 2 r S^ ' m— 3 



c + c> c +c> c ,-^cy c 



n l y^ n — a. 2 y^ n — a. — b S y^ n — a — 5 — -y 



N'esta formula r designa, quantos são os objectos d'onde hão de 

 ser tirados os que podem ser repelidos. O segundo termo exprime o 

 numero de combinações, que contém um qualquer dos r objectos 2, 

 3,... a vezes, o terceiro o numero de combinações em que dois quaes- 

 quer dos r objectos entram 2, 3, 4... vezes, e finalmente o terceiro ter- 

 mo representa o numero de combinações, que comprehendem três ob- 

 jectos repetidos. 



14.— Suppondo que somente um objecto pode ser repetido, todos 

 os números a, S, y,.., l excepto um são nullos e a formula (17) re- 

 duz-se a 



[~m ~\ m. 1 ^ tn — 1 



\ c\=c-\-cy G 



L «Jj n \ y^ n-a. 



OU 



r^Jr" 



7)1 — 1 m — 1 ni — 1 



n n — 2 M — 3 O 



