14 JORNAL DE SCIENCIAS MATHEMATICAS 



Imaginemos, pois, que temos todos os arranjos w a w que é pos- 

 sível formar com w objectos, de sorte que em cada um entrem r ob- 

 jectos designados, e que d'estes r objectos o primeiro, por exemplo, 

 seja tomado a. vezes, o segundo ê vezes, etc. 



Dispondo todos estes arranjos em diversas linhas horisontaes, de 

 modo que fiquem em cada linha todos os que forem compostos dos 

 mesmos objectos e que os que pertencerem a linhas diversas diffiram 

 pela natureza d'imi ou mais objectos, teremos evidentemente tantas li- 

 nhas horisontaes, quantas as combinações n a n, que se podem fazer 

 com m objectos repetindo r pelo modo acima indicado. E como cada 

 uma das linhas horisontaes tem (| 6) 



P.'Pè-Px 



arranjos, segue-se que basta dividir a formula (2) por esta fracção para 

 se obter o nmiiero 



\ C \ = C , , (12) 



de combinações de m objectos n a n cora a condição de r d'aquelles 

 objectos estarem repetidos em todas ellas. 



N'esta formula podem suppôr-se eguaes a 1 quaesquer dos nume- 

 res a, p, , . .>. Se todos elles o forem ter-se-ha 



C\ = C (13) 



4, 1, . . 1 



" E é claro que esta egualdade designa quantas das combinações n 

 a n, que se podem formar com m objectos, contém r d'esses objectos 

 sem repetição. 



Procedendo analogamente com os termos da formula (5) achare- 

 mos a seguinte expressão 



m — r m — r 



C . + ^ 6 . +etc...(14) 



m — « — 6— -y— ... « — 5 — -y — d— ... 



pela qual determinaremos^ quantas das combinações w a ?^ formadas com 



