12 JORNAL DE SCIENGIAS MATHEMATICAS 



O maior valor que se pode dar a p é egual a ^ ou ao maior in- 

 teiro contido n'esta fracção, segundo n for par ou impar. 



Quando é m=r = k e n = 8, o máximo valor de p é 4 e o ul- 

 timo termo da serie é 



C P 8-2-2-2-2 anaç) 



4* 8* P .P .P .P —^^^^ 



2 2 2 2 



visto que, para ser geral a formula, deve suppôr-se C = l. 



n 



Effectuando os cálculos acha-se 



P^l =2116 + 28980 + 31920 + 2520 



OU 



p^l =65536 = 4". 



A formula (8) pode também servir para calcular o numero de ar- 

 ranjos com repetição em que não ha mais de p objectos repetidos, com 



VI 



tanto que p seja um inteiro não superior a 5. Assim o numero de ar- 

 ranjos com repetição, em que não ha mais de 3 objectos repetidos é 



A + C 



ç m — 1 V m — 2 



.p . > —^Vc .p . > /-;-% 



-{- C .P 



m — 1 



n — a — ê — Y 



3-n-X P^-P^-P^ 



H. — Quando todos os objectos são repetidos, é r=m e a for- 

 mula (8) transforma-se na serie 



"-'c 



W-x+x-^.->-p^"+ 



• n / 



-«»-2^ 



+ "^.•^.- ; ■ p"7"^ + etc. (9) 



