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JORNAL DE SCIENCIAS MATHEMATICAS 



Também se demonstra a involução dos seis pontos a, a'; h, b'; c, c' 

 pelas propriedades das divisões homographicas do seguinte modo: 



Os dois feixes x'dpa'c', xdeac são homographicos, visto que os 

 seus raios concorrem dois a dois nos mesmos pontos da recta gg'; e por 

 consegui[)le cortados pela recta cc', oíTerecem as duas divisões anhar- 

 monicas eguaes a, e, a', d; a', c, a,c; e logo os cinco pontos a, a'; c, c'\ 

 e formam uma involuçãu de qne é duplo o ponto e. 



Se tomarmos os vértices y e y' leremos os dois feixes egualmente 

 homographicos y'g'deb' e yg'deb, logo são homographicas as duas di- 

 visões a', a,e, 6' e a, a', e,&,e por conseguinte os cinco pontos a, í?'; b, b';e 

 formam outra involução, de que é também duplo o ponto e. Estão pois 

 em involução os três systemas de dois pontos a, a'; b, b'; c, d. 



Beconhece-se também que o segundo ponto duplo f está na inter- 

 secção das rectas xx' e aa'; ou também na intersecção das rectas yy' 

 e aa'; logo as Ires rectas aa\ xx' e yy' concorrem no mesmo ponto. 



Prova-se de modo semelhante qne lambera concorre no mesmo 

 ponto a recta hh!. 



O ponto central pode obter-se projectando x, parallelamenle a a a', 

 sobre gg', e tirando d'esta projecção uma recta passando por x' até en- 

 contrar a recta aa'\ ou projectando xJ e unindo esta projecção com o 

 ponto X. 



Este processo dá logar á solução do seguinte problema: 



Dados três pontos sobre uma recta a, e, a', fig. 2, achar um quarto 



Fia. <£. 



