Steiner'sche Aufgabe betreifend ebene Curven. 207 



Ni2 = [«'- "] 

 J,2 = 3 jHiH?2 + [»" 2] = 3 [m n] — 3 j??i »(.^ + [»» fc] 

 K,2 = [m k]. 



Die beiden übrigen Singularitäten berechnen wir 

 unter Anwendung der ersten und zweiten Plücker'schen 

 Formel, wodurch wir erhalten : 



2 Dj,, = m^ '^rti-i^ — [m n] — w;,»?^ — 3 [>» fe] 

 = »HiWJa (»h — 1) (»"2 — 1) + 2 [wi cZ] 

 2 r,2 = [m nY - 10 [m n] + 8 wii Wj — 3 [m fc]. 

 Für das Geschlecht Pi 2 endlich findet man aus ü/i 2, 



2 P12 = [m h] + [Mi fc] — 2j«i «i2 + 2. 



Die Projection von '^ hat die Besonderheit, vielfache 

 Tangenten zu besitzen, welche in die Umrisse der beiden 

 Kegel fallen. Bei beliebigem Projectionscentrum gehen 

 n^ »ig -fache und m^)u_^ einfache Tangenten der Projection 

 durch die Projection von M^ (die erstem berühren ©j) 

 und «2 «?! -fache nebst m^n^ einfachen Tangenten durch 

 die Projection von ilio (die erstem berühren (£0). Wird 

 das Projectionscentmm aber nach Q verlegt, wodurch die 

 Projection in die gemischte harmonische Curve übergeht, 

 so gibt es im Bilde durch den Pol n^ w, -fache und Vk^ 

 Wj -fache Tangenten von §12» welche in die Tangenten 

 an die Basiscurven fallen. Im Uebrigen sind die Sin- 

 gularitäten der gemischten harmonischen Curve nicht ver- 

 schieden von den eben gefundenen. Da keine Tangente 

 von 9t durch Q gehen kann, so geben die I^^ einfachen 

 Schmiegungsebenen durch Q lauter Inflexionstaugenten 

 von ^j2. Die [wä:] Spitzen von ^^., liegen auf den 

 Strahlen von P nach den Spitzen der Basiscurven. Von 

 den Doppelpunkten von |), 2 liegen [w d] auf den Strahlen 

 von P nach den Doppelpunkten der Basiscurven; die 



