Steiner'sche Aufgabe betreftend ebene Curven. 209 



liegt. Jeder Doppelpunkt D^.^ ist somit ein vierfacher 

 Punkt im Schnitt der beiden Developpabeln. Dieser 

 Schnitt zerfällt aber in die gemischte Trasse Z^o und 

 eine Raumcurve @ von der Ordnung ^^o (ttio — 1) und 

 für diese Raumcurve <© istZ>i2 ein Doppelpunkt. Offen- 

 bar ist die Curve ® zu sich selbst involutorisch für Q 

 als Centrum und die Basisebene als Involutionsebene. 

 Die Tangenten an die beiden Aeste von @ durch D^,^ 

 liegen also in einer Ebene durch Q und entsprechen ein- 

 ander. 



Um öjo zu erhalten, hat man von den Schnittpunkten 

 der Raumcurve @ mit der Basisebene diejenigen abzu- 

 rechnen, welche nicht Doppelpunkte von © sind und die 

 übrig bleibende Anzahl durch 2 zu dividieren. Solcher 

 abzurechnenden Punkte gibt es zweierlei : 1) Da ® zu sich 

 selbst involutorisch ist, so muss für jeden einfachen Schnitt- 

 punkt mit der Basisebene die zugehörige Tangente nach 

 Q gehen. Jede Tangente von <S ist aber die Schnitt- 

 linie zweier Tangentialebenen der Developpabeln 9t' und 

 91" und diese Tangentialebenen müssen also jetzt auch 

 durch Q gehen. Es handelt sich somit um die Schmie- 

 gungsebenen, welche man von Q aus an 91' legen kann 

 und deren Anzahl = J12 = ^12 ist. Seien in einer solchen 

 Ebene, die mit ihrer entsprechenden von 9i" zusammen- 

 fällt, a' V die zwei unendlich benachbarten Tangenten 

 von 9i', «" h" die entsprechenden von 9?", dann sind 

 («' a"), (&' h") zwei unendlich benachbarte Punkte von 

 \ X12, die auf einer Intiexionstangente von ^12 liegen, 

 und («' 6"), [tt" h') zwei unendlich benachbarte Punkte von 

 @ auf einer Geraden nach Q. An diesen Stellen berühren 

 sich die beiden developpabeln Flächen. 2) Jede der Xjg 

 Spitzen von 2^12 liegt auf 9i' und 9i". Im Schnitt der 



