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beiden Developpabeln entsteht also eine Spitze mit vier 

 Aesten, die eine gemeinschaftliche Tangente haben. Da aber 

 zwei dieser Aeste zu Z-^o gehören, so bleibt eine gewöhn- 

 liche Spitze von @ übrig, deren Tangente mit der Spitzen- 

 tangente von 2^12 zusammenfällt und deren Schmiegungs- 

 ebene durch Q geht. An dieser Stelle wird also @ von 

 der Basisebene in drei zusammenfallenden Punkten ge- 

 schnitten. Für öi2 findet man somit schliesslich: 



2 Öi2 = ittj, (^12 — 1) — V 12 — 3 Ki2- 



Dies ist aber die gewöhnlich als erste bezeichnete 

 Plücker'sche Formel, nach welcher auch in (V.) dj2 be- 

 rechnet wurde. 



VII. Doppelpunkte erster, zweiter, dritter 

 Art. Ein Doppelpunkt der gemischten Trasse kann auf 

 zwei verschiedene Arten zu Stande kommen: nämlich 

 entweder dadurch, dass eine Tangente der einen Basis- 

 curve und zwei zu ihr homologe Tangenten der andern 

 Basiscurve durch einen Punkt gehen, oder dadurch, dass 

 zwei Paare homologer Tangenten durch einen Punkt 

 gehen, wobei die zwei Paare der Berührungspunkte auf 

 zwei verschiedenen Strahlen durch P liegen. Im ersten 

 Fall ist noch weiter zu unterscheiden, ob die zuerst ge- 

 nannte Tangente zu Sj oder zu ©2 gehört. So besteht 

 0^2 aus drei Zahlen, d^^'i ^n", ^i2"\ die zu den Doppel- 

 punkten D^.^', A2") Aa'" gehören und wir stellen uns 

 die Aufgabe, diese drei Zahlen zu bestimmen. Vorläufig 

 lässt sich ö"'i2 ermitteln durch Anwendung des Correspon- 

 denzprincips von Chasles und damit ist dann auch 

 ^12' + ^12" bekannt. 



Ein Strahl x durch P schneide So im Punkte Ä2 ; 

 auf der Tangente «2 desselben bestimme man diejenigen 

 Punkte A", in welchen sich zwei homologe Tangenten 



