Steiner'sche Aufgabe betreffend ebene Curven. 211 



schneiden, zu denen aber a^ nicht gehören soll. Diese 

 Punkte liegen auf der gemischten Trasse und ihre An- 

 zahl für jede Tangente «2 beträgt ^lo — m^. Von jedem 

 Punkt X aus lege man eine weitere Tangente an ö-^ und 

 ihren Berührungspunkt Bi verbinde man durch einen 

 Strahl x' mit P. Die Strahlen x x' bilden dann eine 

 Correspondenz von folgender Art: Zu jedem Strahl x 

 gehören m^ {^12 — ^'^i) («1 — 1) Strahlen x' und zu jedem 

 Strahl x' gehören m^ {(i^.y — m^) (n.. — 1) Strahlen x. 

 Man hat somit als Zahl der Coincidenzen: 



»'2 (."12 — Wi) («1 — 1) + »h (^12 — >«2) («2 — 1) = 

 //12 [mn] — ^12 (w?i + JH2) —»h »«2 ("i + "2 — 2). 



Jeder Doppelpunkt i^ig'" gibt nun Veranlassung zu 

 zwei verschiedenen Coincidenzen in den zwei Strahlen, 

 auf welchen die zwei Paare der Berührungspunkte liegen. 

 Aber es gibt auch Coincidenzen, welchen nicht ein eigent- 

 licher Doppelpunkt entspricht. Dieselben liegen in den 

 Strahlen, welche nach den »/jr/jg Schnittpunkten der beiden 

 Basiscurven gehen. Diese Punkte sind Spitzen von Zi2 "nd 

 von jedem gehen zwei unendlich benachbarte Tangenten 

 \ an Sj und ebenso an ©2 und diese Tangenten bilden 

 ' zwei Paare homologer Tangenten, deren Berührungspunkte 

 alle in jenen Punkt hineinfallen. Man erkennt leicht, 

 dass auf diese Weise je zwei unendlich benachbarte Coin- 

 cidenzen entstehen. Nach Abzug derselben hat man : 



2 Ö12'" = [m n]' — [m n] (m, + m^) — m^m^ («i + M2). 



Daraus folgt weiter: 

 2 (5,2' + öia") = [mn] {m^ -f m.^ — 4) + mi m.^ («1 + «2) — [ml]. 



Zur Bestimmung von 8^.,"' kann man auch das Zeu- 

 then'sche Correspondenzprincip in der Ebene anwenden 

 (Comptes rendus 1874). Die Punkte der Ebene können 

 nämlich in folgender Art in Correspondenz gesetzt werden: 



