Steiner'sche Aufgabe betreffend ebene Ourven. 215 



von ^ und mit der Geraden nach P eine harmonische 

 Gruppe. 



Jeder dieser Doppelpunkte von U liegt mit m — 2 

 der früher aufgezählten auf einer Geraden nach M^ und 

 mit m — 2 andern auf einer Geraden nach Mo ; aber die 

 Ebene der beiden Tangenten geht für die neuen Doppel- 

 punkte nicht durch AI^ oder J/g, sondern durch Q. Die 

 Raumcurve U hat also im Ganzen (2 m — 3) ^^Doppelpunkte. 



Jede Spitze von S gibt Veranlassung zu vier Aesten 

 des Gesammtschnittes, welche mit gemeinschaftlicher Tan- 

 gente zusammenstossen, und da zwei von diesen Aesten 

 zu S gehören, so bilden die beiden andern eine Spitze 

 von U, deren Tangente mit der Spitzentangente von ® 

 zusammenfällt; diese beiden Aeste von U entsprechen 

 einander involutorisch. Jede dieser Spitzen von U liegt 

 mit m — 2 der früher aufgezählten auf einer Geraden 

 nach ilfj und mit m — 2 andern auf einer Geraden nach 

 M^'., aber die Schmiegungsebenen der neuen Spitzen gehen 

 nicht durch M^ oder il/j, sondern durch Q. U hat also 

 im Ganzen (2 m — 3) k Spitzen. 



Die Punkte von U, welche in der Basisebene liegen 

 und deren Gesammtzahl = m {in — 1) beträgt, sind somit: 

 die n einfachen Punkte B, die cl Doppelpunkte und die 

 k Spitzen von 6. Man hat folglich die Beziehung : 

 m (iH — Ij = n + 2 d + 3 fc 



sammt ihrer dualistisch entsprechenden 



n (n — 1) = m + 2 t + 3 i. 



Diese Ableitung der beiden ersten Plücker'schen 

 Formeln ist von Herrn Rodenberg gegeben worden, 

 Math. Annalen, Bd. 26. In der Betrachtung von (VI) 

 treten an Stelle zweier durch eine ebene Curve gelegten 

 Kegel zwei developpable Flächen. 



L 



