Steiner'sche Aufgabe betreffend ebene Curven. 275 



3) Jede Spitze von 9^ ist ein einfacher Punkt der 

 Doppelcurve, deren Tangente mit der Spitzentangente 

 zusammenfällt. Auf ®' liegen diejenigen m-^k.2 Spitzen, 

 deren Schmiegungsebenen Tangentialebenen des ersten 

 Kegels sind. Die Tangente einer solchen Spitze hat 

 7»2 — 2 zugeordnete Tangenten in der Sehmiegungsebene 

 der Spitze und diese Tangenten von 9t sind Tangenten 

 von ®' in denjenigen Punkten, in welchen sie die Spitzen- 

 tangente treffen. Auf jeder Cuspidalerzeugeuden des 

 ersten Kegels liegen m.2 Spitzen. Betrachten wir irgend 

 zwei derselben, so erkennen wir, dass die beiden Spitzen- 

 tangenten sich in einem Punkt von 1)' schneiden, dessen 

 Tangente eine Erzeugende des Kegels Mo%o ist. 



4) Jede Inflexionsebene des ersten Kegels ist Sehmie- 

 gungsebene in m^ Punkten der Inflexionserzeugenden. 

 Bezeichnet man für einen dieser Punkte die zwei unend- 

 lich benachbarten Tangenten von 9^ mit a, b und für 

 einen zweiten mit «', h\ so ist a zugeordnet zu «', aber 

 nicht zu h\ h zugeordnet zu 6', aber nicht zu a'. 

 Daher schneiden sich a und a' in einem Punkt von 

 jD', ebenso h und h' in dem unendlich benachbarten Punkt 

 von t)', dagegen sind die Schnittpunkte {a h') und {a'h) 

 zwei unendlich benachbarte Punkte von 1)'". Man er- 

 hält also einen Punkt, in welchem sich 'S)' und ®'" 

 schneiden und zwar der Art, dass die beiden zugehörigen 

 Tangenten mit den zwei Tangenten von 9t in einer Ebene 

 und harmonisch liegen. 



XX. Schnittpunkte von ®' und X)". Man be- 

 trachte in einer Ebene durch M^M.^ zwei Erzeugende 

 «!,&! des ersten Kegels und zwei Erzeugende «2>^2 des 

 zweiten sammt den zugehörigen Tangentialebenen «i , ßi , 

 «2,132. Dies gibt vier Punkte von 9t, die wir ein Quad- 



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