Steiner'sche Aufgabe betreffend ebene Curven. 285 



von ©3 nach Q geht. Die Anzahl dieser Punkte ist 

 demnach (X) 



J = [m — 2) (3 n + !<) — % m (m — 1). 



Nach diesen Betrachtungen können wir nun von jeder 

 der drei Doppelcurven '©5,1)2,1)3 angeben, wie viele ihrer 

 Punkte in der Basisebene liegen. 



Von 1)i (und D-J liegen in der Basisebene die fol- 

 genden Punkte: 1) Je drei Punkte in jedem z/ von %. 

 2) Je m — 2 einfache Punkte auf jeder Spitzentangente 

 von ®. Wir haben somit für die Ordnungszahlen öj, ö^ 

 von Dl und Da : 



di = Ö2=3^ + (»n — 2)fc = y(»i -2)(3??j» — 6» — fc). 



Diese Gleichung könnte man umgekehrt zur Bestim- 

 mung von ^ benutzen, da 8^ schon bestimmt ist. 



Von D3 liegen in der Basisebene die folgenden Punkte : 

 1) Je vier Punkte in jedem Punkt von 2; ; 2) je sechs 

 Punkte in jedem Punkt zl von %\ 3) je drei Punkte in 

 jedem der d Doppelpunkte von S ; 4) je 2 {^i — m) Punkte 

 auf jeder Spitzentangente von (£; 5) je ein Punkt auf 

 jeder Inflexionstangente von ^; 6) \-li{k— 1) Punkte in 

 den Schnittpunkten von je zwei Spitzentangenten von S. 

 Für die Ordnungszahl 8^ von Dg ergibt sich hiernach: 

 d^3=4 (S)+6^+3ci+2(,u— »w)Ä;+(m-2)(3n+Jfc)— 2-m(»j— 1 )+ J fc(Ä;- 1) 

 =2mhv'-Qmn^—2,m''n+lmn+W-\n. 



Nun ist uns aber die Ordnungszahl der Gesammt 

 doppelcurve bekannt, ncämlich die Zahl ö„ der Doppel- 

 punkte in der Spur der Developpabeln U auf beliebiger 

 Ebene (XI). Die eben gefundenen Werthe vonöi,^.,,^^ 

 müssen also der Bedingungsgleichung genügen: 

 8, = 8, + 8,^(1 + Ö3. 



Man findet in der That, dass diese Gleichung be- 

 friedigt wird. 



