346 Rudio, über den Cauchy'gchen Fundamentalsatz 



Es möge nun bei dieser Wanderung von z der Quotient 



P 



-^ beim Verschwinden fe, mal vom Positiven zum Nega- 



V 



tiven und li^ mal vom Negativen zum Positiven über- 

 gehen. Dann sagt der Cauchy'sche Satz: 



Die Differenz \—\-> welche man den Excess 

 nennt, ist allemal positiv und doppelt so gross 

 als die Anzahl der im Innern des umlaufenen 

 Flächenstückes Q befindlichen Wurzeln der alge- 

 braischen Gleichung / (s) = 0. 



Zum Beweise zeigt man zunächst, dass, wenn der 

 Satz für zwei längs eines gemeinsamen Linienstückes zu- 

 sammenstossende Gebiete gilt, er auch für das durch Ent- 

 fernung dieses gemeinsamen Stückes entstehende Gesamt- 

 gebiet besteht; woraus sich dann sofort ergibt, dass der 

 Cauchy'sche Satz für das ursprüngliche Flächengebiet G 

 sicherlich dann als erwiesen angesehen werden darf, wenn 

 man dasselbe derart in Teilgebiete zerlegen kann, dass 

 für jedes derselben der Satz gültig ist. Nun lassen sich 

 zunächst um die in dem Gebiete Q etwa vorhandenen 

 Wurzelpunkte der Gleichung / (0) = Kreise Ki be- 

 schreiben, von denen keine zwei einander schneiden und 

 welche überdies so klein sind, dass im Innern und auf 

 der Peripherie eines jeden derselben jeweilen kein zweiter 

 Wurzelpunkt auftritt. Für jede dieser Kreisflächen kann 

 man dann leicht den Cauchy'schen Satz beweisen. 



Das nach Ausschluss dieser kleinen Kreisflächen K^ 

 von dem gegebenen Flächenstücke Q übrig bleibende Ge- 

 biet Q' enthält jetzt keine Wurzelpunkte mehr. 



Von diesem Gebiete Q' wird nun bei den üblichen 

 Beweisen (s. Serret pag. 105 — 106) behauptet, es könne 

 stets in Teilgebiete G/, G^, . . , zerlegt werden von 

 folgender Beschaffenheit : 



