in der Theorie der algebraischen Gleichungen. 347 



Enthält eines dieser Teilgebiete G- im Innern oder 

 auf seiner Begrenzung auch nur einen einzigen Punkt, 

 für welchen P verschwindet, so enthält es weder im In- 

 nern noch auf seiner Begrenzung einen Punkt, für wel- 

 chen Q gleich Null ist. 



Wird die Möglichkeit dieser Zerlegung zugegeben — 

 und über diese Möglichkeit gehen die Beweise stets als 

 über eine selbstverständliche hinweg — so folgt dann 

 allerdings sofort, dass für das aus diesen Teilgebieten Gl 

 und jenen Kreisflächen K^ zusammengesetzte Gebiet G 

 der Cauchy'sche Satz richtig ist. 



Aber die Zerlegbarkeit des Gebietes G' in solche 

 Teilgebiete G/ ist nicht nur keine selbstverständliche, 

 sondern sie lässt sich sogar, so lange die Natur der Funk- 

 tionen P und Q nicht in Rechnung gezogen wird, gar 

 nicht einmal erweisen, ebenso wenig, als sich etwa all- 

 gemein eine untere Grenze ohne weiteres als ein Minimum 

 erweisen lässt. In der That ist es ein leichtes, Beispiele 

 zu bilden, bei welchen jene Zerlegung unmöglich ist. 



Die Zerlegung des Gebietes G' in die Gebiete G- 

 repräsentiert vielmehr den eigentlichen transcendenten 

 Teil in dem Beweise des Cauchy'schen Satzes und berührt 

 somit den Nerv desselben. Da sich nämlich auf den Cau- 

 chy'schen Satz ohne weiteres der Fundamentalsatz der 

 Algebra aufbauen lässt, so ist jener, wie dieser, . zu den 

 sogenannten Existenztheoremen zu rechnen. Die Beweise 

 solcher Theoreme aber, welche auf die Existenz allge- 

 meiner Zahlgrössen hinzielen, erfordern ihrer Natur nach 

 in letzter Instanz notwendig transcendente Betrachtungen. 

 Beweise, die nicht in letzter Instanz auf solchen Betrach- 

 tungen sich aufbauen, können nicht als ausreichend an- 

 gesehen werden. Von dem in diesen Worten enthaltenen 



