348 Rudio, über den Cauchy'schen Fundamentalsatz 



Vorwurf kann, um ein Beispiel zu geben, der erste 

 Gauss'sche Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra 

 nicht freigesprochen werden. Denn indem Gauss den 

 Inbegriff der etwa vorhandenen Punkte (x, y), für welche 

 P(oder Q) verschwindet, ohne weiteres als eine algebra- 

 ische Kurve anspricht, also implicite annimmt, dass die 

 algebraische Gleichung P = für jedes x eine Wurzel 

 y besitze, setzt er eigentlich den zu beweisenden Funda- 

 mentalsatz der Algebra als schon bewiesen voraus. 



Nach diesen allgemeinen Bemerkungen gehe ich nun 

 zu der besprochenen Zerlegung des Gebietes G' über. 



Nach Voraussetzung verschwindet / (z) für keinen 

 Punkt im Innern oder auf der Begrenzung von 0' . In- 

 folge dessen ist die untere Grenze ä;, welche der abso- 

 lute Betrag B von / (0) nämlich : 



\f {z)\ = B = ]IWT^ 

 für die genannten Punkte von O' annimmt, eine von Null 

 verschiedene positive Grösse. Wegen der Stetigkeit von 

 R = B {x, y) muss es nämlich nach dem Weierstrass- 

 schen Satze im Gebiete O' eine Stelle {x^^, y^) geben, der- 

 art, dass B {Xq, 2/0) = k ist. Diese Stelle liegt notwen- 

 digerweise auf der Begrenzung von 0\ weil man sonst 

 nach dem bekannten Argand'schen Satze (Annales de Ger- 

 gonne, T. V.) in nächster Umgebung von {x^, ?/(,), also 

 ebenfalls im Innern von G' , Punkte finden könnte, für 

 welche B kleiner wäre als k. Für jeden Punkt {x, y) im 

 Innern oder auf der Begrenzung von G' ist also: 

 j/p2 _|_ Q2 > j. > 0. 



Verschwindet daher für einen solchen Punkt die Funktion 

 P, so muss für denselben notwendigerweise \Q\ >k sein. 

 Nun ist aber die Funktion Q (wie auch P) in dem Ge- 

 biete G' gl eich massig stetig. Infolge dessen kann man 



