Sur le Systeme de quatre droites dans l'espace. 



Par 

 J. Franel. 



Quatre droites arbitrairement choisies dans l'espace 

 admettent, comme oii sait, deux transversales communes. 

 Suivant que ces transversales seront reelles et differentes, 

 reelles mais confondues ou imaginaires nous dirons que 

 la congruence lineaire döterminee par les quatre droites 

 donnäes est hyperbolique, parabolique ou elliptique. Dans 

 le cas d'une congruence parabolique une des quatre droites 

 donnees est tangente ä l'hyperbolo'ide passant par les 

 trois autres. Si les quatre droites considerees sont des 

 generatrices de meine Systeme d'un hyperboloide elles 

 sont rencontröes par une infinite de transversales. 



Soient Pj, P2, P3, P^ et P/, P2', P3', P/ les sommets 

 de deux tötraedres; dösignons V^^ 0iifJ2-^9^-:9i ^^^ droites 

 joignant les sommets correspondants Pj P/, P2 Pg', P3 P3', 

 P4 P4' et par h^, h^, h^, ]i^ les intersections des faces 

 correspondantes E, P^ P4, P./ P3' P4' etc. 



Nous nous proposons d'etablir les deux propositions 

 suivantes qu'on peut envisager comme une generalisation 

 du theoreme relatif aux triangles perspectifs: 



(I) La congruence linöaire döfinie par les droites h 

 est de meme genre que la congruence linäaire determinee 

 par les droites g. En particulier les deux transversales 

 communes aux droites h coincident en meme temps que 

 les deux transversales communes aux droites g. 



