Franel, sur le sj'steme de quatre droites dans l'espace. 85 



(II) Si les droites g sout des generatrices de meme 

 Systeme d'une surface du second degre, les droites li sont 

 egalement des generatrices de meine Systeme d'une sur- 

 face du second degre. 



Les röciproques ne sont evidemment que les pro- 

 prietes correlatives. 



I. 



Nous rappelons tout d'abord un certain nombre de 

 formules, ötabiies ailleurs dejä, mais qui ne paraissent 

 2)as encore tres-connues malgre leur caractere elemen- 

 taire et qui nous seront necessaires dans la suite.^) 



Comme coordonnees de la droite joignant les deux 

 points («1, /?!, ^1, öj) , («0, ßo, y^, Ö2) nous choisirons 

 les rapports des six quantites 



p (1) = «1 ßa — /^i «2 j i-*'^^ — ^1 7-2 — 7i ^2 y i^'^'' — "1 ^2 — "^1 «2 5 

 j)(*) = ßi 7, - Y, ßa , V^'^ = ^xßz- ß. ^2 , P''' = 7^2- öl 72 , 

 entre lesquelles subsiste l'identite 



(1) ?yi) iP^ + 2^2) ^p) -^pi2)p(i) = 'z lp)pC^'i) = 0. 



Dans le cas des coordonnees rectangulaires nous 

 däfinirons les coordonnäes de la droite joignant les deux 

 points (a, , /?!, 71 ) (ßg, /3a, y^) P^^' l^s formules 



p(i) = a, - «2, P^''^ = ßi — /?3, V^^^ = 7i — 7-2 . 



2^^'- =«1^2-/^1^2, iJ^'^ = yi«2— «1^2- 75*''> = ß.r2 — rißäi 



') On pourra consulter, en particulier, 



Cayley: On the six Coordinates of a line, Trans, of the Cambr. 

 Phil. Soc. vol. XL 



F. Klein: Math. Ann. Bd. II. 



Pasch: Zur Theorie der linearen Complexe, Journ. v. Crelle, Bd. 75. 



Clebsch: Vorlesungen über Geometrie, herausgegeben von Linde- 

 mann, Bd. 11. 



