^2 Franel, sur le Systeme de quatre droites dans l'espace. 



surface du second degre determinee par les trois autres. 

 Cherchons tout d'abord la condition pour qu'il en soit ainsi. 

 Les droites 1, 2, 3 determinent im hyperboloide dont 

 les generatrices (du Systeme auquel appartiennent 1, 2, 3) 

 sont representees par les formules 



(3) p'" = ^jP'/' + ^^p'^' + ftgj;;," 



ou ^i, (i2, ^3 satisfont ä l'equation 



(4) ^, ii, (12) -f ^, ^, (23) + ^3 ii, (31) = 0. 

 La droite 4 rencontre, en genöral, deux de ces gene- 

 ratrices ; les valeurs correspondantes de /Zj, ft.,» /"'s s'ob- 

 tiennent en resolvant l'equation (4) et requation 



(5) ft, (14) + ^2 (24) + ,«3 (34) = 0. 



Ces öquations (4) et (5), si Ton y regarde ^j, /li^, 

 ft3 comme les coordonnäes d'un point du plan, repre- 

 sentent une conique et une droite. La condition pour 

 que cette conique et cette ligne droite soient tangentes, 

 c'est-ä-dire pour que les transversales t et t' coincident 

 peut s'ecrire sous la forme 



(6) I (i, U) 1 = (j, fc = 1. 2. 3, i) 



Cette condition exprime aussi que la transversale t 

 (ou t') appartient ä la congruence lineaire consideree ä 

 laquelle nous proposons d'appliquer le nom de para- 

 bolique. 



II est Evident d'ailleurs que dans les formules (1) 

 on peut remplacer les droites 1, 2, 3, 4 par quatre 

 autres rayons de la congruence pourvu que ces derniers 

 soient lineaireinent independants. En particulier donc 

 notre congruence parabolique sera representee par les 

 ^quations 



(7) ?9(0 = A, i,,^^ + l,p,^^ + k,p,(i) 4- A'y« 



