Franel, sur le Systeme de quatre droites dans l'espace. 97 



(2) _2;[.V = «^ /3, — ß^ a„ jtJ = cc^Ys - Yr ««, etc. 



On aura donc p^'i = — j^i^ et, si Ton convient 

 d'ätendre cette döfitiition au cas oii les indices r et s 

 sont egaux ^y,'/. = 0. L'invariant des deux aretes P^ P^, 

 Pj P4 est egal au determinant 



«1 ßi Yi ^1 

 «2 k Y2 ^2 

 «3 ßs Ys Ö3 



«4 ßi Yi Ö4 



que nous designerons, pour abröger, par (12 3 4). Des 

 formules (1) on tire les valeurs des coordonnees de la 

 droite g^: 



k=i 

 fjr = 2; «,;. ]//^! (r = 1, 2 . . . 6) 



(3) 

 d'oü 



((/iffj) = ^ 9T gf ''' = {üa- . %/ 



üjk) {iJijl) 



les nombres i, k, j, l, quand i et j sont differents etant 

 identiques, ä Tordre pres, aux nombres 1, 2, 3, 4. On 

 pourra donc faire 



(4) (m,) = (1234) {a:„. aj„ - cu„ a>.) 



les nombres m et «, identiques ä k et ?, titant choisis 

 dans un ordre tel que la permutation i mj n des nombres 

 12 3 4 soit une permutation paire ou de la premiere 

 classe. 



Le determinant D des quatre droites y, a donc pour 

 expression 



(5) i) = (1 2 3 4) * I («,„.%„ - a,-,.ö,„.) I (/, J = 1. 2. 3. 4). 

 Cherchons maintenant les coordonnees des droites 



lii intersections des faces correspondantes des deux te- 

 traedres. Les coordonnees de la droite h^ situee dans 



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