Franel, sur le S3'steme de quatxe droites dans l'espace. 99 



signe. Les congruences lineaires determinees cViine part 

 par les droites g et d'autre part par les droites U sont 

 donc bien de meine genre, c'est-ä-dire en meme temps 

 hyperboliques, paraboliques ou elliptiqiies comme il s'agis- 

 sait de l'etablir. 



Le döterminant A s'aunule aussi quand d est nul; 

 dans ce cas les quatre sommets P! et, par-suite, les 

 quatre droites /«, sont dans im meme plan. 



Reste ä demontrer le second theoreme. 



Si les droites ^. sont des gent^ratrices de meme 

 Systeme d'une surface du second ordre on pourra döter- 

 miner quatre multiplicateurs ö^, ö,, Ö3, Ö4, differents de 

 et tels que öj gT 4- Ö2 gV + Ö3 g'P -h Ö4 gV = 

 (>• = 1, 2, . , . 6). En rempla^ant les gV par leurs 

 valeurs ces equations deviennent 



= (öl «12 - «21 Ö2) ^il + (öl «13 - %1 Ö3) i^is* 

 -+- (öl «14 - «41 Ö4) pu' + (Ö2 «23 - «32 Ö3) P'U 

 + (Ö2 «24 - «42 Öj i^oi' + (Ö3 «3^ - Ö^ a^g) jj^i . 



Si les coefficients öj «12 - «21 ^2, öj «jg - «31 Ö3, ... 

 n'ötaient pas tous nuls les six aretes du tetraedre Pi, 

 Po, P3, P4 appartiendraient ä un complexe linöaire. Or 

 cinq quelconques de ces aretes döterminent un complexe 

 linäaire special auquel la sixieme arete n'appartient 6vi- 

 demment pas. On peut donc enoncer le resultat sui- 

 vant: 



Pour que les quatre droites g soient des genöratrices 

 de meme Systeme d'une surface du second degr(5 il faut 

 et il suffit que Ton puisse d(^terminer 4 grandeurs öj, 

 ^2? <^3' <^4 difförentes de (ou plus exactement leurs 

 rapports) satisfaisant aux six öquations: 



