Franel, sur le Systeme de quatre droites dans Tespace. 101 



et .(72 dans le plan P^ P^ P^ ; l'arete Pg P^ est une g6ne- 

 ratrice du second Systeme. 



Si Ton a, ä la fois, «12 = 0, «34 = on aura aussi 

 ^^2, = 0, «43 = ; les six equations (9) se reduisent ä 

 quatre et pour qu'elles soient compatibles il faudra que 

 Ton ait 



(12) «13 . «32 . «24 • «41 = %1 • «23 • «42 • «14- 



Les gönäratrices Qx-, g^, g^-, g^ sont situöes dans les 

 Plans respectifs P^ P, P4, P, P3 P„ P, P, P^, P, P, P,. 

 Si Ton appelle Qj, Q2 les points d'intersection de g^ et 

 g., avec l'arete P3 P4 et Q3, Q^ les points d'intersection 

 de g^ et g^ avec l'arete Pj P^ on verra sans peine que 

 Tequation (12) exprime Tegalitö des rapports anharmo- 

 uiques (Py P^ Q^ Q^) et (Q3 Q^ Pj P^). Les deux aretes 

 Pi Po, P3 P4 sont, dans ce cas, des genöratrices du 

 second Systeme de la surface du second degre passant 

 par les droites g. 



Semblablement pour que les droites Ji, soient des 

 genöratrices de meme Systeme d'une surface du second 

 degrö il faut et il suffit que les six equations suivantes 

 soient compatibles : 



(13) Q, A,o — Po Aoi = 0, 



Qi As — Qi -^si = 0, 



Qi A4 — Qi Ai = 0, 



P2 As Ps Ai ^^ ^1 



Po ^24 — Qi Al = 0, 



Qi Ai — Qi As = 0. 

 Notre Probleme est donc ramenö ä celui-ci: 

 Montrer que si les equations (9) sont compatibles 

 les Equations (13) le sont aussi. A cet elfet multiplions 

 les six equations (9) par les döterminants de la matrice 



