330 Stiner, zwei involutorische Transformationen 



F^ F^ Pj P2 P3 gegeben, so wähle man den r — 2 fachen 

 Punkt F zum Hauptpunkt, 2 Doppelpunkte, z. B. F^ und 

 P2 und 2 einfache Punkte, z. B. Pj und P^ zu Funda- 

 mentalpunkten der Transformation. Dann suche man zu 

 den Punkten D^ . . A-i und P, . P3 die korrespon- 

 dierenden i)\ . . Z)'^_4 und P'i . P'g. Nun gibt es eine 

 einzige Kurve von der Ordnung r — 2, welche in F einen 

 r — 4fachen Punkt hat, durch die r — 4 Punkte D\ . . D'^_4 

 doppelt und durch die 5 Punkte P3 P4 P'^ . P\ einfach 

 geht. Die Transformierte dieser Kurve ist die gesuchte 

 Cr- Auch hier wird die Konstruktion einer Kurve r*®"" 

 Ordnung zurückgeführt auf die Konstruktion einer Kurve 

 von der Ordnung r — 2 mit den analogen Singularitäten. 



Für eine Kurve vierter Ordnung mit 3 Doppelpunkten 

 ergibt sich z. B. folgende Beziehung zwischen den 3 Doppel- 

 punkten und 6 einfachen Punkten : Legt man durch 2 

 Doppelpunkte und 2 einfache Punkte Pj und Po die 

 Kegelschnitte nach den 4 übrigen Punkten P3 . . Pg, und 

 aus dem dritten Doppelpunkt die Geraden nach P3 . . Pg, 

 so schneidet jede dieser Geraden den durch denselben 

 Punkt gehenden Kegelschnitt in einem neuen Punkt; die 

 vier so erhaltenen Punkte liegen mit Pj und Pg auf 

 einem Kegelschnitt. 



Es folgen daraus interessante Beziehungen nament- 

 lich für die rationalen bizirkularen Kurven. Einige Eigen- 

 schaften der Bernoulli'schen Lemniskate sollen am Schluss 

 der Arbeit entwickelt werden. 



Für r > 6 lässt sich ein noch bequemerer Weg 

 einschlagen. Wählt man hier den r — 2 fachen Punkt 

 als Hauptpunkt und irgend 4 Doppelpunkte der Kurve 

 als Fundamentalpunkte einer Transformation, so ist die 

 Transformierte der C^ eine Kurve von der Ordnung r — 4 



