334 Stiner, zwei involutorische Transformationen 



Schnittpunkte desselben mit C',. So ist die Bestimmung 

 der 5 Schnittpunkte der C5 mit einer Geraden zurück- 

 geführt auf die Bestimmung der 5 Schnittpunkte einer 

 rationalen Kurve dritter Ordnung und eines Kegelschnittes, 

 welcher durch einen schon bekannten Punkt dieser Kurve 

 geht. Die Lösung der gestellten Aufgabe fünften Grades 

 ist damit in die einfachste geometrische Form gebracht. 



Die aufgestellte Transformation wird für die Unter- 

 suchung vieler Kurven ein sehr geeignetes Hülfsmittel 

 sein. Es sollen hier nur noch 2 einfache Anwendungen 

 derselben gegeben werden. Sie soll verwendet werden 

 a) zur Bestimmung der Asymptoten eines durch 5 

 Punkte gegebenen Kegelschnittes, b) zur Entwick- 

 lung einiger p]igenschaften der Lemniskate. 



a) Ein Kegelschnitt werde transformiert mit Hülfe 

 eines Kreisbüschels, dessen reelle oder imaginäre Grund- 

 punkte A und B auf dem Kegelschnitt liegen unter der 

 Voraussetzung, dass der Hauptpunkt F der Transfor- 

 mation ebenfalls der Kurve angehöre. Die abgeleitete 

 Kurve sechster Ordnung zerfällt dann in die beiden Ge- 

 raden FÄ und FB, in den Kreis durch die 3 Punkte 

 AB Fund in einen durch i^ gehenden Kreis K' , der 

 abhängig ist von dem gegebenen Kegelschnitt, Den 

 Punkten von A B entsprechen involutorisch die Punkte 

 der unendlich fernen Geraden. Schneidet daher K' die 

 Gerade A B in den Punkten U und F, so sind die Rich- 

 tungen der Geraden F U und F V die Asymptotenrich- 

 tungen des gegebenen Kegelschnittes. Die Asymptoten 

 selbst werden dann am einfachsten gefunden mit Hülfe 

 des Pascal'schen Satzes. 



Man bekommt daher für die Art eines durch 5 Punkte 

 bestimmten Kegelschnittes folgendes Kriterium: Die 5 



