338 Stiner, zwei involutorische Transformationen 



SO ist der auf einer Geraden durch den Doppelpunkt 

 liegende Radius der Kurve gleich der auf derselben Ge- 

 raden liegenden Sehne dieses Kreises.^) Die Tangenten- 

 konstruktion, welche man hieraus nach der Theorie der 

 sog. reciproken Polaren erhält, führt zu folgenden Ent- 

 stehungsarten der Lemniskate als Enveloppe von Hy- 

 perbeln: Man nehme ausserhalb eines Kreises K einen 

 Punkt F von der Lage, dass die aus ihm an den Kreis 

 gehenden Tangenten zu einander senkrecht stehen; man 

 lege durch F eine beliebige Gerade s, welche K in den 

 Punkten P und Q schneide. Konstruiert man nun die- 

 jenige Hyperbel, welche iT in P berührt, während die 

 eine Asymptote derselben ^ in Q berührt und die andere 

 Asymptote durch F geht, so umhüllen die für alle Lagen 

 von s entstehenden Hyperbeln eine Lemniskate. Oder: 

 Konstruiert man unter denselben Voraussetzungen die 

 Hyperbel, welche durch F geht und ^ in Q berührt, 

 während die eine Asymptote K m P berührt, so um- 

 hüllen die zweiten Asymptoten der für alle Lagen von s 

 entstehenden Hyperbeln eine Lemniskate. 



l) Man transformiere die Lemniskate durch ein 

 Büschel von Kreisen, welche durch einen Punkt P der 

 Kurve gehen und in diesem Punkt die Kurventangente 

 berühren. Die transformierte Kurve ist nach «) ein 

 Kegelschnitt, welcher die Gerade i^P in einem zweiten 

 Punkt aS" schneidet. Dieser Punkt 8 ist der vierte har- 

 monische zu P in Bezug auf den Punkt F und den 

 Schnittpunkt mit der Linie G H. Dieser Schnittpunkt 

 ist aber hier der Mittelpunkt der Strecke F P. Man 



^) Man vergl. : Exercices de geometrie descriptive par F. J. 

 [Freres des Ecoles chretiennes]. III. Aufl. pag. 552. 



